( 2,5 pontos) Uma v.a. X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10 . Considere uma amostra de 26 elementos retirada dessa população. Calcule a probabilidade de que esta média amostral seja maior que 95 e menor que 98.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a probabilidade procurada.
  • Variável aleatória da população: X é normal com média \mu=100 e desvio padrão \sigma=10.
  • Tamanho da amostra: n=26.
  • Queremos a probabilidade de que a média amostral \bar{X} seja maior que 95 e menor que 98, ou seja:
\text{calcular }P\bigl(95<\bar{X}<98\bigr).

Passo 2

Entendendo a distribuição da média amostral (a ideia importante que vai ser usada).
  • Quando a população é normal, a média amostral \bar{X} de uma amostra de tamanho n tem distribuição normal exata com média igual à média da população e desvio padrão reduzido (erro padrão). Ou seja,
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\;\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right).
  • Aqui \mu é a média da população, \sigma é o desvio padrão da população e \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média: ele mede a dispersão das médias amostrais em torno de \mu. Quanto maior n, menor é o erro padrão.

Passo 3

Calcular os parâmetros da distribuição de \bar{X}.
  • A média de \bar{X} é \mu_{\bar{X}}=\mu=100.
  • O desvio padrão (erro padrão) é
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{26}}.
Agora calcular numericamente \sqrt{26} e \sigma_{\bar{X}}.
\sqrt{26}\approx 5{,}099019513, \qquad \sigma_{\bar{X}}=\frac{10}{\sqrt{26}}\approx\frac{10}{5{,}099019513}\approx 1{,}9600.

Passo 4

Transformar para a variável normal padrão Z e achar os z‑scores correspondentes a 95 e 98.
  • A transformação é
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}=\frac{\bar{X}-100}{10/\sqrt{26}}.
  • Para \bar{X}=95:
z_{95}=\frac{95-100}{10/\sqrt{26}}=\frac{-5}{10/\sqrt{26}}=-\frac{5}{1{,}9600}\approx -2{,}551.
  • Para \bar{X}=98:
z_{98}=\frac{98-100}{10/\sqrt{26}}=\frac{-2}{10/\sqrt{26}}=-\frac{2}{1{,}9600}\approx -1{,}020.
Portanto
P\bigl(95<\bar{X}<98\bigr)=P\bigl(-2{,}551<Z<-1{,}020\bigr).

Passo 5

Calcular a probabilidade usando a tabela (ou função) da normal padrão e a simetria da curva.
  • Usando a simetria da normal e valores tabelados:
\Phi(1{,}02)\approx 0{,}8461\quad\Rightarrow\quad \Phi(-1{,}02)=1-\Phi(1{,}02)\approx 1-0{,}8461=0{,}1539.
\Phi(2{,}55)\approx 0{,}9946\quad\Rightarrow\quad \Phi(-2{,}55)=1-\Phi(2{,}55)\approx 1-0{,}9946=0{,}0054.
  • Assim
P\bigl(-2{,}551<Z<-1{,}020\bigr)=\Phi(-1{,}020)-\Phi(-2{,}551)\approx 0{,}1539-0{,}0054=0{,}1485.

Passo 6

Interpretação final (motivação para a prova).
  • O valor 0{,}1485 significa que, retirando uma amostra de 26 observações dessa população normal, a chance de a média amostral cair entre 95 e 98 é cerca de 14{,}85\%.
  • Em prova: resumo dos passos que costuma funcionar rápido — calcular \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n}, transformar os limites em z‑scores e consultar a tabela da normal padrão (usar simetria para pontos negativos).

Resposta

P(95<\bar{X}<98)=0{,}1485\\ (\approx 14{,}85\%)

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