( 2,5 pontos) Uma v.a.
tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10 . Considere uma amostra de 26 elementos retirada dessa população. Calcule a probabilidade de que esta média amostral seja maior que 95 e menor que 98.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a probabilidade procurada.
- Variável aleatória da população:
é normal com média e desvio padrão . - Tamanho da amostra:
. - Queremos a probabilidade de que a média amostral
seja maior que e menor que , ou seja:
Passo 2
Entendendo a distribuição da média amostral (a ideia importante que vai ser usada).
- Quando a população é normal, a média amostral
de uma amostra de tamanho tem distribuição normal exata com média igual à média da população e desvio padrão reduzido (erro padrão). Ou seja,
- Aqui
é a média da população, é o desvio padrão da população e é o erro padrão da média: ele mede a dispersão das médias amostrais em torno de . Quanto maior , menor é o erro padrão.
Passo 3
Calcular os parâmetros da distribuição de
.
- A média de
é . - O desvio padrão (erro padrão) é
Agora calcular numericamente
e
.
Passo 4
Transformar para a variável normal padrão
e achar os z‑scores correspondentes a
e
.
- A transformação é
- Para
:
- Para
:
Portanto
Passo 5
Calcular a probabilidade usando a tabela (ou função) da normal padrão e a simetria da curva.
- Usando a simetria da normal e valores tabelados:
- Assim
Passo 6
Interpretação final (motivação para a prova).
- O valor
significa que, retirando uma amostra de observações dessa população normal, a chance de a média amostral cair entre e é cerca de . - Em prova: resumo dos passos que costuma funcionar rápido — calcular
, transformar os limites em z‑scores e consultar a tabela da normal padrão (usar simetria para pontos negativos).