Neste exercício, discutiremos o modelo matemático para o crescimento populacional segundo Verhust. Se P(t) denota determinada população em função do tempo, então a quantidade
d Pd t=lambda P(1-PK)
Onde o lambda é a taxa de crescimento populacional e K é a Capacidade de suporte
Em 1834, Verhlust e estudando o crescimento das populações da França e da Bélgica,propuseram um modelo matemático no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Considerando P(0)=P0 analise o modelo e use uma das técnicas vista no curso para obter a solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! Temos que resolver um modelo matemático de crescimento populacional proposto por Verhulst. A equação que descreve esse modelo é:
dPdt = lambda P (1 - PK)
Aqui, $ P(t) $ representa a população em função do tempo, $ \lambda $ é a taxa de crescimento populacional e $ K $ é a capacidade de suporte, ou seja, o número máximo de indivíduos que o ambiente pode suportar. Além disso, sabemos que no tempo inicial ($ t = 0 $), a população é $ P_0 $. Vamos usar técnicas de equações diferenciais para encontrar a solução particular dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial logística, que é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Isso significa que podemos rearranjar os termos para separar as variáveis $ P $ e $ t $ em lados opostos da equação.

Passo 3

Vamos reescrever a equação para separar $ P $ e $ t $:
P
Dividindo ambos os lados por $ P (1 - \frac{P}{K}) $ e multiplicando por $ dt $, conseguimos:
t

Passo 4

Agora, para facilitar a integração, vamos simplificar o lado esquerdo. Podemos usar frações parciais para quebrar a expressão $ \frac{1}{P (1 - \frac{P}{K})} $. Primeiro, reescrevemos o denominador:
1P (1 - PK)
Portanto:
1 - PK = K - PK
Então, temos:
1P (1 - PK) = KP (K - P)

Passo 5

Agora, aplicamos a técnica de frações parciais para integrar o lado esquerdo. Queremos encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
A
Multiplicando ambos os lados por $ P (K - P) $, obtemos:
B
Vamos resolver para $ A $ e $ B $:
  • Quando $ P = 0 $:
    KP (K - P) = AP + BK - P
  • Quando $ P = K $:
    P (K - P)
Então, a expressão de frações parciais fica:
K = A (K - P) + B P

Passo 6

Agora, substituímos de volta na integral:
( 1P + 1K - P ) dP = lambda dt
Integramos ambos os lados:
integral ( 1P + 1K - P ) dP = integral lambda dt

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
  • A integral de $ \frac{1}{P} dP $ é $ \ln |P| $.
  • A integral de $ \frac{1}{K - P} dP $ é $ -\ln |K - P| $ (por causa da regra da cadeia).
Portanto:
1P dP
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 8

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
ln ( PK - P ) = lambda t + C
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a exponenciação nos dois lados:
PK - P = e^lambda t + C = e^C e^lambda t
Vamos chamar $ e^{C} = C’ $, que ainda é uma constante. Assim:
e^C = C'

Passo 9

Agora, resolvemos para $ P $:
Multiplicando ambos os lados por $ K - P $:
P
Distribuindo $ C’ e^{\lambda t} $:
K - P
Levando todos os termos com $ P $ para um lado:
P = C' e^lambda t (K - P)
Fatorando $ P $:
C' e^lambda t
Isolando $ P $:
P = C' K e^lambda t - C' e^lambda t P

Passo 10

Agora, usamos a condição inicial $ P(0) = P_0 $ para encontrar $ C’ $:
Substituindo $ t = 0 $ e $ P = P_0 $:
P(0) = P0
Resolvendo para $ C’ $:
C'

Passo 11

Substituímos $ C’ $ de volta na expressão de $ P(t) $:
C'

Resposta

A solução particular para o modelo de Verhulst com a condição inicial $ P(0) = P_0 $ é:
P(0) = P0

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