Neste exercício, discutiremos o modelo matemático para o crescimento populacional segundo Verhust. Se
denota determinada população em função do tempo, então a quantidade
Onde o
é a taxa de crescimento populacional e
é a Capacidade de suporte
Em 1834, Verhlust e estudando o crescimento das populações da França e da Bélgica,propuseram um modelo matemático no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Considerando
analise o modelo e use uma das técnicas vista no curso para obter a solução particular.
Em 1834, Verhlust e estudando o crescimento das populações da França e da Bélgica,propuseram um modelo matemático no qual a taxa de crescimento populacional é controlada pelo número máximo de indivíduos que podem coexistir, em condições ideais. Considerando
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que foi pedido! Temos que resolver um modelo matemático de crescimento populacional proposto por Verhulst. A equação que descreve esse modelo é:
Aqui, $ P(t) $ representa a população em função do tempo, $ \lambda $ é a taxa de crescimento populacional e $ K $ é a capacidade de suporte, ou seja, o número máximo de indivíduos que o ambiente pode suportar. Além disso, sabemos que no tempo inicial ($ t = 0 $), a população é $ P_0 $. Vamos usar técnicas de equações diferenciais para encontrar a solução particular dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação diferencial logística, que é uma equação diferencial de primeira ordem e separável. Isso significa que podemos rearranjar os termos para separar as variáveis $ P $ e $ t $ em lados opostos da equação.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para separar $ P $ e $ t $:
Dividindo ambos os lados por $ P (1 - \frac{P}{K}) $ e multiplicando por $ dt $, conseguimos:
Passo 4
Agora, para facilitar a integração, vamos simplificar o lado esquerdo. Podemos usar frações parciais para quebrar a expressão $ \frac{1}{P (1 - \frac{P}{K})} $. Primeiro, reescrevemos o denominador:
Portanto:
Então, temos:
Passo 5
Agora, aplicamos a técnica de frações parciais para integrar o lado esquerdo. Queremos encontrar constantes $ A $ e $ B $ tais que:
Multiplicando ambos os lados por $ P (K - P) $, obtemos:
Vamos resolver para $ A $ e $ B $:
-
Quando $ P = 0 $:
-
Quando $ P = K $:
Então, a expressão de frações parciais fica:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na integral:
Integramos ambos os lados:
Passo 7
Vamos integrar cada termo separadamente:
- A integral de $ \frac{1}{P} dP $ é $ \ln |P| $.
- A integral de $ \frac{1}{K - P} dP $ é $ -\ln |K - P| $ (por causa da regra da cadeia).
Portanto:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 8
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Para eliminar o logaritmo, aplicamos a exponenciação nos dois lados:
Vamos chamar $ e^{C} = C’ $, que ainda é uma constante. Assim:
Passo 9
Agora, resolvemos para $ P $:
Multiplicando ambos os lados por $ K - P $:
Distribuindo $ C’ e^{\lambda t} $:
Levando todos os termos com $ P $ para um lado:
Fatorando $ P $:
Isolando $ P $:
Passo 10
Agora, usamos a condição inicial $ P(0) = P_0 $ para encontrar $ C’ $:
Substituindo $ t = 0 $ e $ P = P_0 $:
Resolvendo para $ C’ $:
Passo 11
Substituímos $ C’ $ de volta na expressão de $ P(t) $:
Resposta
A solução particular para o modelo de Verhulst com a condição inicial $ P(0) = P_0 $ é: