Questão 3 ( 2,5 pontos). Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Para isso, vamos precisar entender sobre limites, funções exponenciais e logaritmos. Vamos por partes para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do parêntese:
. Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm
como termo principal. Então, podemos dividir cada termo por
para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende ao infinito. Os termos
e
vão se tornar bem pequenos, quase zero. Assim, podemos aproximar a fração:
Então, a expressão original fica aproximadamente
.
Passo 4
Sabemos que
, onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Mas aqui temos
. Podemos reescrever essa expressão como:
Passo 5
Vamos calcular o limite separadamente:
Multiplicando esses limites:
Resposta
O limite é igual a
.