Questão 3 ( 2,5 pontos). Calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite de (2x + 32x + 1)^x + 1 quando x tende ao infinito. Para isso, vamos precisar entender sobre limites, funções exponenciais e logaritmos. Vamos por partes para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do parêntese: 2x + 32x + 1. Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm 2x como termo principal. Então, podemos dividir cada termo por 2x para facilitar:
2x + 32x + 1 = 2x(1 + 32x)2x(1 + 12x) = 1 + 32x1 + 12x

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece quando x tende ao infinito. Os termos 32x e 12x vão se tornar bem pequenos, quase zero. Assim, podemos aproximar a fração:
1 + 32x1 + 12x approx 1 + 22x = 1 + 1x
Então, a expressão original fica aproximadamente (1 + 1x)^x + 1.

Passo 4

Sabemos que limx to +infty (1 + 1x)^x = e, onde e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. Mas aqui temos (1 + 1x)^x + 1. Podemos reescrever essa expressão como:
(1 + 1x)^x cdot (1 + 1x)

Passo 5

Vamos calcular o limite separadamente:
  1. limx to +infty (1 + 1x)^x = e
  2. limx to +infty (1 + 1x) = 1
Multiplicando esses limites:
e cdot 1 = e

Resposta

O limite é igual a e.

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