- Seja
a curva interseção do plano
com a esfera
. Identifique a curva
e sua projeção no plano
. (resp.:
é uma circunferência e sua projeção no plano
é uma elipse)
Passo 1
O enunciado diz que
é a curva de interseção do plano
com a esfera
O conteúdo aqui é geometria analítica: a interseção de um plano com uma esfera (que passa pelo centro) é um círculo, e sua projeção ortogonal no plano
dá uma curva do segundo grau (esperamos uma elipse). Vamos determinar explicitamente essa curva e seu raio, e depois obter sua projeção no plano
.
Passo 2
Para achar
Como o plano passa pela origem, a distância do centro da esfera ao plano é
logo estamos no caso de uma grande circunferência de raio
Portanto , centrada na origem, contida no plano
.
Passo 3
Para projetar
no plano
fazemos a projeção ortogonal: cada ponto
de
vai em
. Usamos
na equação da esfera para eliminar
:
Expandindo e recolhendo termos:
Essa é a equação de uma elipse (forma quadrática definida positiva).
Passo 4
Concluímos que
é uma circunferência de raio
no plano
, e sua projeção ortogonal no plano
é a curva dada por
que é uma elipse.
Resposta
A projeção de