1. Seja gamma a curva interseção do plano x+y+z=0 com a esfera x^2+y^2+z^2=R^2. Identifique a curva gamma e sua projeção no plano x y. (resp.: gamma é uma circunferência e sua projeção no plano x y é uma elipse)

Passo 1

O enunciado diz que gamma é a curva de interseção do plano
x + y + z = 0
com a esfera
x^2 + y^2 + z^2 = R^2
O conteúdo aqui é geometria analítica: a interseção de um plano com uma esfera (que passa pelo centro) é um círculo, e sua projeção ortogonal no plano xy dá uma curva do segundo grau (esperamos uma elipse). Vamos determinar explicitamente essa curva e seu raio, e depois obter sua projeção no plano xy.

Passo 2

Para achar
Como o plano passa pela origem, a distância do centro da esfera ao plano é
logo estamos no caso de uma grande circunferência de raio
Portanto , centrada na origem, contida no plano .

Passo 3

Para projetar gamma no plano xy fazemos a projeção ortogonal: cada ponto (x,y,z) de gamma vai em (x,y). Usamos z = -,x - y na equação da esfera para eliminar z:
x^2 + y^2 + (x+y)^2 = R^2
Expandindo e recolhendo termos:
x^2 + y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = R^2 Longrightarrow 2x^2 + 2xy + 2y^2 = R^2 Longrightarrow x^2 + xy + y^2 = R^22
Essa é a equação de uma elipse (forma quadrática definida positiva).

Passo 4

Concluímos que
gamma
é uma circunferência de raio R no plano x+y+z=0, e sua projeção ortogonal no plano xy é a curva dada por
x^2 + xy + y^2 = R^22,
que é uma elipse.

Resposta

gamma é uma circunferência de raio R (grande círculo) no plano x+y+z=0.
A projeção de gamma no plano xy é a elipse
x^2 + xy + y^2 = R^22

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