(a) Use a série de Maclaurin de arc \operatorname{tg} x para aproximar, com três casas decimais de precisão, arc \operatorname{tg} \frac{1}{2} \mathrm{e} \operatorname{arc} \operatorname{tg} \frac{1}{3}.
(b) Use os resultados da parte (a) e a Fórmula (16) para aproximar \pi.
(c) Como garantir que o resultado em (b) seja preciso até a terceira casa decimal? Explique seu raciocínio
(d) Compare sua resposta da parte (b) com aquela produzida por uma calculadora.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. Usar a série de Maclaurin de \operatorname{arctg}x para aproximar com três casas decimais \operatorname{arctg}\tfrac12 e \operatorname{arctg}\tfrac13.
  2. Usar a fórmula
\pi \;=\;4\bigl(\operatorname{arctg}\tfrac12 + \operatorname{arctg}\tfrac13\bigr)
para aproximar \pi.
3. Explicar como garantir precisão de três casas decimais em (2), usando estimativa de resto da série.
4. Comparar o valor obtido com o de uma calculadora.
O conteúdo necessário é a série de Taylor (Maclaurin) de \operatorname{arctg}x e o critério de resto para séries alternadas.

Passo 2

A série de Maclaurin de \operatorname{arctg}x é a série alternada
\operatorname{arctg}x \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1},
válida para |x|\le1. Pelo teste de Leibniz, o erro absoluto ao truncar após o termo n=N é no máximo o módulo do próximo termo:
\bigl|R_{N+1}(x)\bigr|\le\frac{|x|^{2N+3}}{2N+3}.

Passo 3

Aplicando a x=\tfrac12 e calculando termos até que o próximo seja \le5\times10^{-5} (para garantir \,4R<0,0005) obtemos:
\begin{aligned} T_0&=\tfrac12,\\\ T_1&=-\frac{(\tfrac12)^3}{3}=-0,041667,\\\ T_2&=+\frac{(\tfrac12)^5}{5}=0,006250,\\\ T_3&=-\frac{(\tfrac12)^7}{7}=-0,001116,\\\ T_4&=+\frac{(\tfrac12)^9}{9}=0,000217. \end{aligned}
A soma parcial fica
S_4=\;0,5-0,041667+0,006250-0,001116+0,000217 \;=\;0,463684.
O próximo termo é \bigl|T_5\bigr|=\tfrac{(\tfrac12)^{11}}{11}\approx4{,}0\times10^{-5}, logo o erro em \operatorname{arctg}\tfrac12 é \le4\times10^{-5}. Portanto, arredondando a três casas decimais,
\operatorname{arctg}\tfrac12\approx0,464.

Passo 4

Para x=\tfrac13 calculamos termos até que o próximo seja \le5\times10^{-5}:
\begin{aligned} U_0&=\tfrac13\approx0,333333,\\\ U_1&=-\frac{(\tfrac13)^3}{3}\approx-0,012346,\\\ U_2&=+\frac{(\tfrac13)^5}{5}\approx0,000823,\\\ U_3&=-\frac{(\tfrac13)^7}{7}\approx-0,000065,\\\ U_4&=+\frac{(\tfrac13)^9}{9}\approx0,000006. \end{aligned}
A soma parcial é
S'_4=0,333333-0,012346+0,000823-0,000065+0,000006 =0,321751.
O próximo termo é \approx5\times10^{-7}, logo erro \le5\times10^{-7}. Arredondando a três casas decimais,
\operatorname{arctg}\tfrac13\approx0,322.

Passo 5

Agora usamos
\pi =4\bigl(\operatorname{arctg}\tfrac12+\operatorname{arctg}\tfrac13\bigr) \approx4\bigl(0,464+0,322\bigr) =4\times0,786 =3,144.
Se quisermos mais precisão interna antes do arredondamento, usamos os valores não arredondados:
4\bigl(0,463684+0,321751\bigr)=4\times0,785435=3,141740,
que arredonda a três casas decimais em \pi\approx3,142.

Passo 6

Para garantir três casas decimais em \pi, basta controlar o erro total
\Delta\pi=4\bigl(\Delta\!\operatorname{arctg}\tfrac12+\Delta\!\operatorname{arctg}\tfrac13\bigr)
e exigir \Delta\pi<5\times10^{-4}. Pelo critério de Leibniz, \Delta\!\operatorname{arctg}x\le módulo do primeiro termo desprezado. Escolhemos N em cada série tal que cada resto seja \le5\times10^{-5}; então \Delta\pi\le4\cdot2\cdot5\times10^{-5}=4\times10^{-4}<5\times10^{-4}, garantindo o arredondamento correto a três casas decimais.

Passo 7

O valor de referência (calculadora) para \pi é 3,14159265… Arredondando a três casas dá 3,142, exatamente o que encontramos.

Resposta

(a) \operatorname{arctg}\tfrac12\approx0,464 e \operatorname{arctg}\tfrac13\approx0,322.
(b) \pi\approx3,142.
(c) Usamos o critério de resto da série alternada (Leibniz), tomando número de termos tal que o primeiro termo desprezado seja \le5\times10^{-5}, de modo que o erro em \pi fique abaixo de 5\times10^{-4}.
(d) A calculadora dá \pi\approx3,141593, que também arredonda a 3,142 nas três casas decimais.

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