(a) Use a série de Maclaurin de arc \operatorname{tg} x para aproximar, com três casas decimais de precisão, arc \operatorname{tg} \frac{1}{2} \mathrm{e} \operatorname{arc} \operatorname{tg} \frac{1}{3}.
(b) Use os resultados da parte (a) e a Fórmula (16) para aproximar \pi.
(c) Como garantir que o resultado em (b) seja preciso até a terceira casa decimal? Explique seu raciocínio
(d) Compare sua resposta da parte (b) com aquela produzida por uma calculadora.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
Usar a série de Maclaurin de \operatorname{arctg}x para aproximar com três casas decimais \operatorname{arctg}\tfrac12 e \operatorname{arctg}\tfrac13.
para aproximar \pi.
3. Explicar como garantir precisão de três casas decimais em (2), usando estimativa de resto da série.
4. Comparar o valor obtido com o de uma calculadora.
O conteúdo necessário é a série de Taylor (Maclaurin) de \operatorname{arctg}x e o critério de resto para séries alternadas.
Passo 2
A série de Maclaurin de \operatorname{arctg}x é a série alternada
O próximo termo é \bigl|T_5\bigr|=\tfrac{(\tfrac12)^{11}}{11}\approx4{,}0\times10^{-5}, logo o erro em \operatorname{arctg}\tfrac12 é \le4\times10^{-5}. Portanto, arredondando a três casas decimais,
\operatorname{arctg}\tfrac12\approx0,464.
Passo 4
Para x=\tfrac13 calculamos termos até que o próximo seja \le5\times10^{-5}:
e exigir \Delta\pi<5\times10^{-4}. Pelo critério de Leibniz, \Delta\!\operatorname{arctg}x\le módulo do primeiro termo desprezado. Escolhemos N em cada série tal que cada resto seja \le5\times10^{-5}; então \Delta\pi\le4\cdot2\cdot5\times10^{-5}=4\times10^{-4}<5\times10^{-4}, garantindo o arredondamento correto a três casas decimais.
Passo 7
O valor de referência (calculadora) para \pi é 3,14159265… Arredondando a três casas dá 3,142, exatamente o que encontramos.
Resposta
(a) \operatorname{arctg}\tfrac12\approx0,464 e \operatorname{arctg}\tfrac13\approx0,322.
(b) \pi\approx3,142.
(c) Usamos o critério de resto da série alternada (Leibniz), tomando número de termos tal que o primeiro termo desprezado seja \le5\times10^{-5}, de modo que o erro em \pi fique abaixo de 5\times10^{-4}.
(d) A calculadora dá \pi\approx3,141593, que também arredonda a 3,142 nas três casas decimais.