Resolva cada um dos PVI’s abaixo.
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{3}-2 y}{x}, y(2)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}-2y}{x},\qquad y(2)=-1.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i)}\; \frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}-2y}{x}.
\text{(ii)}\; y(2)=-1.
Observação importante (apenas identificação dos dados): a equação envolve divisão por x, então x=0 é um ponto singular; o PVI dá condição em x=2, que pertence ao intervalo x>0. Não vou resolver nada neste passo, só listei o que foi dado.

Passo 2

Vamos pôr a equação na forma linear padrão para equações de primeira ordem. Começo manipulando a expressão à direita:
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}-2y}{x}=x^{2}-\frac{2}{x}\,y.
Colocando em forma padrão y'+p(x)y=q(x), obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}\,y=x^{2}.
Aqui p(x)=\dfrac{2}{x} e q(x)=x^{2}. A razão de escrever assim é porque existe um método sistemático (fator integrante) para equações lineares da forma y'+p(x)y=q(x).

Passo 3

Explico o método do fator integrante (integradora) de forma didática: para uma equação linear
y'+p(x)y=q(x),
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação por \mu(x) a esquerda se transforma na derivada do produto \mu(x)y, o que facilita a integração. Aqui p(x)=\dfrac{2}{x}, então calculemos \mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(2\ln|x|\right)=|x|^{2}.
Como a condição inicial está em x=2>0, podemos trabalhar no intervalo x>0 e então |x|^{2}=x^{2}. Logo escolhemos
\mu(x)=x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{2}. Temos
x^{2}\frac{dy}{dx}+x^{2}\cdot\frac{2}{x}\,y=x^{2}\cdot x^{2}.
Simplificando o termo do meio:
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y=x^{4}.
Agora reconhecemos que a expressão da esquerda é justamente a derivada do produto x^{2}y. Para ver isso usamos a regra do produto: \dfrac{d}{dx}(x^{2}y)=2x y + x^{2}y'. Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{4}.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)\,dx = \int x^{4}\,dx.
No lado esquerdo a integral anula a derivada, ficando x^{2}y. No lado direito integramos potência:
x^{2}y = \frac{x^{5}}{5} + C,
onde C é a constante de integração. Expliquei que o C aparece porque a primitiva tem uma constante arbitrária.

Passo 6

Agora isolamos y dividindo por x^{2} (novamente lembrando que trabalhamos com x>0 nesse PVI):
y(x)=\frac{x^{5}}{5x^{2}}+\frac{C}{x^{2}}=\frac{1}{5}x^{3}+C x^{-2}.
Esta é a solução geral da equação diferencial (antes de usar a condição inicial).

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(2)=-1 para determinar C. Substituindo x=2 e y(2)=-1 na expressão geral:
-1=\frac{1}{5}\cdot 2^{3}+C\cdot 2^{-2}.
Calcule passo a passo: 2^{3}=8, então \dfrac{1}{5}\cdot 8=\dfrac{8}{5}. Também 2^{-2}=\dfrac{1}{4}. Assim
-1=\frac{8}{5}+\frac{C}{4}.
Isolando \dfrac{C}{4}:
\frac{C}{4}=-1-\frac{8}{5}=-\frac{5}{5}-\frac{8}{5}=-\frac{13}{5}.
Multiplicando ambos os lados por 4 obtemos
C=-\frac{52}{5}.

Passo 8

Agora que encontramos C=-\dfrac{52}{5}, substituímos esse valor na solução geral para obter a solução particular do PVI. (A expressão final aparece abaixo apenas na seção de resposta final.)

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{5}x^{3}-\dfrac{52}{5}x^{-2}

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