Resolva cada um dos PVI’s abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado por
Informações relevantes fornecidas:
Observação importante (apenas identificação dos dados): a equação envolve divisão por
, então
é um ponto singular; o PVI dá condição em
, que pertence ao intervalo
. Não vou resolver nada neste passo, só listei o que foi dado.
Passo 2
Vamos pôr a equação na forma linear padrão para equações de primeira ordem. Começo manipulando a expressão à direita:
Colocando em forma padrão
, obtemos
Aqui
e
. A razão de escrever assim é porque existe um método sistemático (fator integrante) para equações lineares da forma
.
Passo 3
Explico o método do fator integrante (integradora) de forma didática: para uma equação linear
o fator integrante é
Multiplicando a equação por
a esquerda se transforma na derivada do produto
, o que facilita a integração. Aqui
, então calculemos
:
Como a condição inicial está em
, podemos trabalhar no intervalo
e então
. Logo escolhemos
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. Temos
Simplificando o termo do meio:
Agora reconhecemos que a expressão da esquerda é justamente a derivada do produto
. Para ver isso usamos a regra do produto:
. Portanto a equação fica
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral anula a derivada, ficando
. No lado direito integramos potência:
onde
é a constante de integração. Expliquei que o
aparece porque a primitiva tem uma constante arbitrária.
Passo 6
Agora isolamos
dividindo por
(novamente lembrando que trabalhamos com
nesse PVI):
Esta é a solução geral da equação diferencial (antes de usar a condição inicial).
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão geral:
Calcule passo a passo:
, então
. Também
. Assim
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 8
Agora que encontramos
, substituímos esse valor na solução geral para obter a solução particular do PVI. (A expressão final aparece abaixo apenas na seção de resposta final.)