Neste exercício, você calculará as derivadas das funções trigonométricas. Para isso, utilize somente (i) a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^{2} x+\cos ^{2} x=1, (ii) as relações obtidas no exercício anterior e (iii) a definição de função derivada, a saber,
\begin{aligned} f^{\prime}: D \subset \mathbb{R} & \longrightarrow \mathbb{R} \\\ x & \longmapsto f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} . \end{aligned}
Seja f:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto f(x)=\tan x. Mostre que f^{\prime}(x)=\frac{1}{\cos ^{2} x}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\tan x em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr) usando somente (i) a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1, (ii) as relações do exercício anterior (derivadas de \operatorname{sen} e de \cos e limites clássicos) e (iii) a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
O conteúdo principal é manipular a diferença \tan(x+h)-\tan x e usar limites trigonométricos.

Passo 2

Começamos escrevendo
\tan(x+h)-\tan x = \frac{\operatorname{sen}(x+h)}{\cos(x+h)} - \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{\operatorname{sen}(x+h)\cos x - \operatorname{sen} x\,\cos(x+h)}{\cos(x+h)\,\cos x}.
No numerador usamos a identidade de diferença de ângulos
\operatorname{sen}(x+h)\cos x - \cos(x+h)\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}\bigl((x+h)-x\bigr) = \operatorname{sen} h.
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\tan(x+h)-\tan x = \frac{\operatorname{sen} h}{\cos(x+h)\,\cos x}.

Passo 3

Formamos o quociente de diferença dividido por h:
\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h} = \frac{\operatorname{sen} h}{h}\cdot\frac{1}{\cos(x+h)\,\cos x}.
Agora tomamos limite quando h\to0. Sabemos que
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen} h}{h}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{h\to0}\cos(x+h)=\cos x.
Portanto
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{\tan(x+h)-\tan x}{h} =1\cdot\frac{1}{\cos x\;\cos x} =\frac{1}{\cos^{2}x}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{\cos^{2}x}.

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