Neste exercício, você calculará as derivadas das funções trigonométricas. Para isso, utilize somente (i) a identidade trigonométrica
, (ii) as relações obtidas no exercício anterior e (iii) a definição de função derivada, a saber,
Seja
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
em
usando somente (i) a identidade trigonométrica
, (ii) as relações do exercício anterior (derivadas de
e de
e limites clássicos) e (iii) a definição
O conteúdo principal é manipular a diferença
e usar limites trigonométricos.
Passo 2
Começamos escrevendo
No numerador usamos a identidade de diferença de ângulos
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Passo 3
Formamos o quociente de diferença dividido por
:
Agora tomamos limite quando
. Sabemos que
Portanto