Seja o conjunto A=\{1,2,3,4,5,6\}. Construa o gráfico cartesiano da relação R em A definida por:
x R y \Leftrightarrow x e y são primos entre si

Passo 1

O enunciado pede para “desenhar” o gráfico cartesiano da relação R em
A = \{1,2,3,4,5,6\}
definida por
xRy \;\Longleftrightarrow\; \gcd(x,y)=1.
Isto significa marcar no plano todos os pares (x,y)\in A\times A que são primos entre si. Para isso, precisamos usar o conceito de máximo divisor comum \gcd.

Passo 2

Lembrando que \gcd(x,y) é o maior inteiro que divide simultaneamente x e y. Se \gcd(x,y)=1, então dizemos que x e y são coprimos (primos entre si).

Passo 3

Para cada x\in A, determinamos os valores de y\in A tais que \gcd(x,y)=1:
– Para x=1: \gcd(1,y)=1 para todo y\in A.
Logo y=1,2,3,4,5,6.
– Para x=2: só funciona se y não for par, ou seja,
y=1,3,5.
– Para x=3: excluímos múltiplos de 3, restam
y=1,2,4,5.
– Para x=4: excluímos múltiplos de 2, restam
y=1,3,5.
– Para x=5: excluímos múltiplos de 5, restam
y=1,2,3,4,6.
– Para x=6: excluímos múltiplos de 2 e de 3, restam
y=1,5.

Passo 4

O gráfico cartesiano de R é simplesmente o conjunto de todos esses pontos (x,y). Se fôssemos desenhar, marcaríamos no grid 6\times6 exatamente estes pares.

Resposta

R = \{\,(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),\;(2,1),(2,3),(2,5),\;(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),\;(4,1),(4,3),(4,5),\;(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),\;(6,1),(6,5)\}.

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