Vamos estudar em mais detalhes um exemplo da aula 3. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada pela expressão \[f(x)= \begin{cases}\frac{x}{2}+x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{cases}
(a) f\] é contínua? (b) \(f é diferenciável?
(c) A derivada de f é contínua?
(d) f é de classe C^{1} ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{2}+x^{2}\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr), & x\neq0,\\[6pt] 0, & x=0, \end{cases}
e pede para verificar: continuidade, diferenciabilidade, continuidade de f' e se f é de classe C^1. Vamos usar limite para continuidade e definição de derivada para diferenciabilidade, além de calcular explicitamente f' para analisar sua continuidade.]

Passo 2

Para x\neq0, f é soma e produto de funções elementares (polinômios e \operatorname{sen}), logo é contínua. Resta checar x\to0:
\lim_{x\to0}f(x) =\lim_{x\to0}\Bigl(\tfrac{x}{2}+x^{2}\operatorname{sen}(1/x)\Bigr) =\underbrace{\lim_{x\to0}\tfrac{x}{2}}_{=0}+\underbrace{\lim_{x\to0}x^{2}\operatorname{sen}(1/x)}_{=0}=0=f(0).
Portanto f é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Para diferenciabilidade, em x\neq0 não há problema (funções elementares). Em x=0, usamos
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\tfrac{x}{2}+x^{2}\operatorname{sen}(1/x)}{x} =\lim_{x\to0}\Bigl(\tfrac12 +x\operatorname{sen}(1/x)\Bigr) =\tfrac12.
Como esse limite existe e é finito, f é diferenciável em 0. Concluímos que f é diferenciável em \mathbb{R}.

Passo 4

Para x\neq0, derivamos
f(x)=\frac{x}{2}+x^{2}\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Usando regra do produto e cadeia,
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x}{2}\Bigr) +\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\operatorname{sen}(1/x)\bigr) =\tfrac12+\bigl(2x\operatorname{sen}(1/x)+x^{2}\cos(1/x)\cdot(-1/x^{2})\bigr) =\tfrac12+2x\operatorname{sen}(1/x)-\cos(1/x).

Passo 5

Verificamos continuidade de f' em 0 calculando
\lim_{x\to0}f'(x) =\lim_{x\to0}\Bigl(\tfrac12+2x\operatorname{sen}(1/x)-\cos(1/x)\Bigr) =\tfrac12+\underbrace{\lim_{x\to0}2x\operatorname{sen}(1/x)}_{=0} \;-\;\underbrace{\lim_{x\to0}\cos(1/x)}_{\text{não existe (oscila)}}.ã
Como \cos(1/x) não tem limite quando x\to0, o limite de f'(x) não existe em 0. Logo f' não é contínua em 0 (mas é contínua em x\neq0).

Passo 6

Uma função é de classe C^{1} se é diferenciável e sua derivada é contínua em todo o domínio. Aqui f é diferenciável em \mathbb{R}, mas f' falha em ser contínua em 0. Portanto f não é de classe C^{1}.

Resposta

(a) Sim.
(b) Sim.
(c) Não.
(d) Não.

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