Vamos estudar em mais detalhes um exemplo da aula 3. Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) dada pela expressão
\[f(x)= \begin{cases}\frac{x}{2}+x^{2} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right) & \text { se } x \neq 0 \\\\ 0 & \text { se } x=0\end{cases}
(a) f\] é contínua?
(b) \(f é diferenciável?
(c) A derivada de f é contínua?
(d) f é de classe C^{1} ?
e pede para verificar: continuidade, diferenciabilidade, continuidade de f' e se f é de classe C^1. Vamos usar limite para continuidade e definição de derivada para diferenciabilidade, além de calcular explicitamente f' para analisar sua continuidade.]
Passo 2
Para x\neq0, f é soma e produto de funções elementares (polinômios e \operatorname{sen}), logo é contínua. Resta checar x\to0:
\lim_{x\to0}f'(x) =\lim_{x\to0}\Bigl(\tfrac12+2x\operatorname{sen}(1/x)-\cos(1/x)\Bigr) =\tfrac12+\underbrace{\lim_{x\to0}2x\operatorname{sen}(1/x)}_{=0} \;-\;\underbrace{\lim_{x\to0}\cos(1/x)}_{\text{não existe (oscila)}}.ã
Como \cos(1/x) não tem limite quando x\to0, o limite de f'(x) não existe em 0. Logo f' não é contínua em 0 (mas é contínua em x\neq0).
Passo 6
Uma função é de classe C^{1} se é diferenciável e sua derivada é contínua em todo o domínio. Aqui f é diferenciável em \mathbb{R}, mas f' falha em ser contínua em 0. Portanto f não é de classe C^{1}.