Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades (A1) a (A4), (M1) a (M4), (D), (O1) a (O4), (OA) e (OM). Supondo x, y reais quaisquer, prove:
a) x cdot 0=0.
b) (Regra dos sinais)
(-x) y=-x y ; x(-y)=-x y ;(-x)(-y)=x y.
c) x^2 >= 0.
d) 1>0.
e) x>0 Leftrightarrow x^-1>0.
f) (Anulamento do produto)
x y=0 Leftrightarrow x=0 ou y=0
g) x^2=y^2 Leftrightarrow x=y ou x=-y
h) Se x >= 0 e y >= 0, x^2=y^2 Leftrightarrow x=y.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de provas básicas em corpo ordenado (isto é, números reais), usando só os axiomas de adição (A1–A4), multiplicação (M1–M4), distributividade (D), ordem (O1–O4), compatibilidade de ordem com adição e multiplicação (OM, OA). Precisamos mostrar várias coisas sobre zero, sinais, quadrados, inversos, etc. Vamos precisar basicamente de:
  • Propriedades de corpo (associatividade, comutatividade, identidade, inverso)
  • Distributividade, pra provar coisa tipo
  • Axiomas de ordem e o fato de que produto de dois positivos é positivo
A partir do Passo 2 a gente começa a provar cada item (a)–(h).

Passo 2

Provar (a) xcdot(0+0) = xcdot0 + xcdot0 .
  1. Pela distributividade (D):
xcdot0 = xcdot0 + xcdot0
  1. Mas (xcdot0) + l(-(xcdot0)r) = l(xcdot0 + xcdot0r) + l(-(xcdot0)r) (A3), então
  1. Agora somamos o inverso de dos dois lados (A4):
  1. No lado esquerdo fica (definição do inverso) e no direito, por associatividade, . Daí .

Passo 3

Provar (b) regra dos sinais:
  1. .
    • Soma pela distributividade = (por (a)).
    • Logo é o inverso aditivo de , isto é .
  2. . O mesmo raciocínio trocando o sinal em .
  3. .
    • Use o que já tem: .

Passo 4

Provar © .
  • Se , então .
  • Se , então pelo axioma (OA) de ordem .
  • Se , então e de novo . Mas por (b).
    Logo em todo caso .

Passo 5

Provar (d) 1cdot1 < 1cdot0 Longrightarrow 1 < 0 .
  • Se fosse , então multiplicando os dois lados de por (que é >0? ainda não sabemos, mas vamos à contradição): Isso não ajuda. Em vez disso, note que por © temos , ou seja . Se , contradiríamos o fato de 1 ser identidade multiplicativa e 0 identidade aditiva, que são únicas. Então não dá . Logo .

Passo 6

Provar (e) xcdot x^-1 > 0cdot x^-1 Longrightarrow 1 > 0 (para ).
  • Se , multiplica em por (que existe, M4) e usa compatibilidade de ordem (OM) com multiplicação: Como (do Passo 5), isso mostra .
  • Recíproco: se , multiplica por e chega em , logo .

Passo 7

Provar (f) se então ou .
  • Se ou , óbvio .
  • Se e , então existe (M4). Multiplica por e obtém .

Passo 8

Provar (g) ou .
  1. Se então .
  2. Mas pela distributividade.
  3. Logo , e pelo anulamento do produto (f) vem ou , i.e.\ ou .
  4. Inversamente, se ou , basta checar que diretamente.

Passo 9

Provar (h) se e então .
  • Do Passo 8 já temos ou .
  • Mas se e , a opção força , que cai também em .
  • E o recíproco é trivial.

Resposta

Concluímos todos os itens (a) a (h) usando só as propriedades pedidas.

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