Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa
que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento
. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo
, valem:
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões
e
, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Tomemos a função de onda quadrática
. Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização
. Dica: integre apenas dentro da região de interesse
.
Tomemos a função de onda quadrática
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma partícula livre num “poço infinito” de comprimento
e queremos aproximar seu estado usando a função de onda candidata
.
O assunto aqui é normalização de funções de onda (parte da mecânica quântica e princípio variacional). Para resolver, vamos usar a condição de que a probabilidade total da partícula seja 1, ou seja
O assunto aqui é normalização de funções de onda (parte da mecânica quântica e princípio variacional). Para resolver, vamos usar a condição de que a probabilidade total da partícula seja 1, ou seja
e daí achar o valor de
.
Passo 2
Aplicando a condição de normalização, escrevemos
Aqui usei que
é constante e sai fora da integral.
Passo 3
Para integrar
, primeiro expandimos o quadrado:
então
Passo 4
Agora integramos termo a termo, lembrando que
:
-
-
-
Somando tudo dá
Passo 5
Voltando à condição