Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa m que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento L. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo 0 <= x <= L, valem:
psi(x)=(2L)^1 / 2 sin (pi xL), E1=pi^22 hbar^2m L^2 approx(4,934802201) hbar^2m L^2
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões x<0 e x>L, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Tomemos a função de onda quadrática phi1(x)=A x(L-x). Normalize esta função de onda, ou seja, determine o valor da constante de normalização A. Dica: integre apenas dentro da região de interesse 0 <= x <= L.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma partícula livre num “poço infinito” de comprimento integral0^L |phi1(x)|^2,dx = 1, e queremos aproximar seu estado usando a função de onda candidata
.
O assunto aqui é normalização de funções de onda (parte da mecânica quântica e princípio variacional). Para resolver, vamos usar a condição de que a probabilidade total da partícula seja 1, ou seja
e daí achar o valor de .

Passo 2

Aplicando a condição de normalização, escrevemos
integral0^L l[A,x,(L-x)r]^2 dx = 1 Longrightarrow A^2 integral0^L x^2,(L-x)^2,dx = 1
Aqui usei que é constante e sai fora da integral.

Passo 3

Para integrar (L-x)^2 = L^2 - 2Lx + x^2, , primeiro expandimos o quadrado:
x^2,(L-x)^2 = x^2l(L^2 - 2Lx + x^2r) = L^2 x^2 - 2L x^3 + x^4
então

Passo 4

Agora integramos termo a termo, lembrando que
integral0^L x^2(L-x)^2 dx = L^5l(tfrac13 - tfrac12 + tfrac15r) = L^5;10 - 15 + 630 = L^530 :

  1. Somando tudo dá

Passo 5

Voltando à condição
A^2 ,L^530 = 1 Longrightarrow A^2 = 30L^5 Longrightarrow A = raiz30L^5 = raiz30L^5/2

Resposta

boxedA = raiz30L^5/2

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