Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa m que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento L. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo 0 <= x <= L, valem:
psi(x)=(2L)^1 / 2 sin (pi xL), E1=pi^22 hbar^2m L^2 approx(4,934802201) hbar^2m L^2
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões x<0 e x>L, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Normalize a função psi=C phi1+D phi2. Deixe sua resposta em termos das constantes C e D e da integral de sobreposição S=integral0^L phi1 phi2 d x.

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente normalize uma função de onda teste
psi(x)=C,phi1(x)+D,phi2(x)
usando a integral de sobreposição
S=integral0^Lphi1(x),phi2(x),dx
O conteúdo é mecânica quântica (princípio variacional e combinação linear de orbitais) e o que a gente precisa é aplicar a condição de normalização
lang<=psi|psirang<==1

Passo 2

Normalizar significa exigir
integral0^Ll|psi(x)r|^2,dx=1
Como integral0^Lphi1^2,dx=1, integral0^Lphi2^2,dx=1, integral0^Lphi1phi2,dx=S e já são normalizadas, a gente tem

Passo 3

Agora a gente põe tudo junto:
integral0^Lpsi^2,dx =integral0^Ll(Cphi1+Dphi2r)^2dx =C^2integralphi1^2 +D^2integralphi2^2 +2CDintegralphi1phi2
Substituindo as integrais conhecidas dá
integral0^Lpsi^2,dx =C^2 +D^2 +2,C,D,S

Passo 4

Como queremos C^2 +D^2 +2,C,D,S =1 , montamos a equação de normalização:

Resposta

A condição de normalização em termos de boxed,C^2 +D^2 +2,C,D,S =1, , e é

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