Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa
que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento
. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo
, valem:
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões
e
, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Calcule a integral de ressonância
.
Calcule a integral de ressonância
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral de ressonância
num problema de partícula livre numa caixa 1D de comprimento
. Estamos em mecânica quântica, usando o princípio variacional e combinação linear de orbitais. Pra resolver, vamos precisar do Hamiltoniano
, das funções próprias
e
(que vêm da partícula na caixa) e das propriedades de operadores hermitianos e ortonormalidade de funções de onda.
Passo 2
Primeiro, lembro o Hamiltoniano de uma partícula livre numa caixa (potencial infinito fora de
):
onde
pra
e infinito fora. Dentro da caixa só sobra o termo da derivada segunda.
Passo 3
As funções próprias dessa caixa são
com energia
Em particular,
e
têm energias
e
, com
.
Passo 4
Como
é autofunção de
, vale
Isso é direto da definição de autofunção e autovalor em operadores hermitianos.
Passo 5
Substituindo na integral,
Agora usamos que as funções
são ortonormais:
Passo 6
Como a integral de sobreposição
é zero, isso faz