Neste problema, iremos explorar o princípio variacional e a combinação linear de orbitais em um problema mais simples que já estudamos no nosso curso. Suponha uma partícula de massa m que é livre para se mover dentro de uma caixa unidimensional de comprimento L. Este problema foi tratado em sala de aula e vimos que a função de onda exata e a energia do estado fundamental, dentro do intervalo 0 <= x <= L, valem:
psi(x)=(2L)^1 / 2 sin (pi xL), E1=pi^22 hbar^2m L^2 approx(4,934802201) hbar^2m L^2
Lembrando que a função de onda é nula nas regiões x<0 e x>L, ou seja, a partícula não existe nestas regiões. Neste problema, vamos obter uma aproximação para o valor da energia do estado fundamental, utilizando uma aproximação para a função de onda exata apresentada anteriormente.
Calcule a integral de ressonância beta=integral0^L phi1 H phi2 d x.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a integral de ressonância
beta = integral0^L phi1(x),hat H,phi2(x),dx
num problema de partícula livre numa caixa 1D de comprimento . Estamos em mecânica quântica, usando o princípio variacional e combinação linear de orbitais. Pra resolver, vamos precisar do Hamiltoniano , das funções próprias e (que vêm da partícula na caixa) e das propriedades de operadores hermitianos e ortonormalidade de funções de onda.

Passo 2

Primeiro, lembro o Hamiltoniano de uma partícula livre numa caixa (potencial infinito fora de hat H = -hbar^22m,d^2dx^2 + V(x), ):
onde pra e infinito fora. Dentro da caixa só sobra o termo da derivada segunda.

Passo 3

As funções próprias dessa caixa são
phin(x) = raiz2Lsinl(tfracnpi xLr),
com energia
En = n^2pi^2hbar^22mL^2
Em particular, e têm energias e , com .

Passo 4

Como hat H,phi2(x) = E2,phi2(x) é autofunção de , vale
Isso é direto da definição de autofunção e autovalor em operadores hermitianos.

Passo 5

Substituindo na integral,
beta = integral0^L phi1(x),l[hat H,phi2(x)r],dx = integral0^L phi1(x),E2,phi2(x),dx = E2integral0^Lphi1(x),phi2(x),dx
Agora usamos que as funções integral0^Lphi1(x),phi2(x),dx = 0 (porque 1neq 2) são ortonormais:

Passo 6

Como a integral de sobreposição beta = E2times 0 = 0 é zero, isso faz

Resposta

beta = 0

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