1. (1,0 ponto) A equação da onda
partial^2 upartial t^2=a^2 partial^2 upartial x^2
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Qual das funções abaixo NÃO satisfaz a equação da onda?
a) u(x, t)=ln (-x-a t)
b) u(x, t)=e^x-a t
c) u(x, t)=sen(x-a t)
d) u(x, t)=cos (x+a t)

Passo 1

O enunciado pede para testar em cada caso se
utt ;=; a^2,uxx
onde as derivadas são segundas em relação a t e a x. Sabemos que qualquer função do tipo
u(x,t)=f(x - a,t)ou u(x,t)=g(x + a,t)
satisfaz automaticamente a equação da onda, desde que f ou g sejam duas vezes diferenciáveis.

Passo 2

Analisando a função da letra (b),
u(x,t)=e^,x - a,t,
tem a forma f(xi) com xi=x-a,t. Logo
ux = f'(xi), uxx=f''(xi), ut = -a,f'(xi), utt=a^2,f''(xi),
e portanto
utt=a^2,f''(xi)=a^2,uxx
Então (b) satisfaz.

Passo 3

Para (c),
u(x,t)=sin(x-a,t),
é também da forma f(x-a,t). O mesmo raciocínio mostra que
utt=a^2,uxx,
logo (c) satisfaz.

Passo 4

Para (d),
u(x,t)=cos(x+a,t),
é da forma g(x+a,t). Calcula-se
utt=-a^2cos(x+a,t), uxx=-cos(x+a,t),
de onde vem
utt=a^2,uxx
Então (d) satisfaz.

Passo 5

Na letra (a),
u(x,t)=lnl(-x - a,tr),
definida apenas quando -x-a,t>0, temos
ux=-1s, uxx=-1s^2, ut=-as, utt=-a^2s^2,
onde s=-x-a,t. Daí
utt=-a^2s^2 e uxx=-1s^2 ;Longrightarrow; utt=a^2,uxx
Tecnicamente, no domínio em que ln está definido e duas vezes diferenciável, (a) também satisfaz a equação da onda, mas como u não está definida para todo x,t (falta de C^2 global), consideramos que ela não fornece uma solução válida para a P.D.E. em todo R^2.

Resposta

a) u(x,t)=ln(-x-a,t) não satisfaz a equação da onda como solução global.

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