Nestes exercícios, os traços das superfícies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
x^{2}+4 y^{2}-9 z^{2}=0 ; y=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície e o plano:
  • Superfície: x^{2}+4y^{2}-9z^{2}=0.
  • Plano: y=1.
O que é pedido:
  • Obter a equação do traço (interseção) da superfície com o plano y=1.
  • Dizer se esse traço é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A interseção é obtida substituindo y=1 na equação da superfície.
  • O traço será uma cônica no plano coordenado formado pelas variáveis restantes x e z.

Passo 2

Substituir y=1 na equação da superfície. Isso significa que em toda ocorrência de y colocamos 1:
x^{2}+4(1)^{2}-9z^{2}=0.
Agora simplificamos o termo com y:
x^{2}+4-9z^{2}=0.

Passo 3

Reorganizar a equação para uma forma mais clara:
x^{2}-9z^{2}=-4.
Multiplicando por -1 e reordenando:
9z^{2}-x^{2}=4.
Dividindo ambos os lados por 4 para tentar a forma padrão de uma cônica:
\frac{9z^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{4}=1.
Podemos também escrever isolando os denominadores:
\frac{z^{2}}{4/9}-\frac{x^{2}}{4}=1.
Comparando com a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem
\frac{z^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
vemos que aqui a^{2}=\dfrac{4}{9} e b^{2}=4. Assim a=\dfrac{2}{3} e b=2.

Passo 4

Regra de classificação (explicação didática): para uma cônica sem termo misto ( xz) escrita como A x^{2}+C z^{2}+ termos lineares/constante, o tipo depende dos sinais de A e C:
  • Se A e C têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) e o lado direito for positivo, é uma elipse.
  • Se exatamente um dos coeficientes quadráticos é zero, é uma parábola.
  • Se A e C têm sinais opostos, é uma hipérbole.
No nosso caso, considerando as variáveis x e z, os coeficientes são A=1 (para x^{2}) e C=-9 (para z^{2}). Como têm sinais opostos, isso indica uma hipérbole.
Uma verificação alternativa (mais formal) usa o discriminante da cônica B^{2}-4AC (onde B é o coeficiente de xz). Aqui B=0, então
B^{2}-4AC = 0^{2}-4\cdot 1\cdot(-9)=36>0,
o que também caracteriza uma hipérbole.

Passo 5

Algumas propriedades úteis para desenhar ou reconhecer melhor o traço:
  • Vértices: colocar x=0 na equação 9z^{2}-x^{2}=4 9z^{2}=4, logo z=\pm \dfrac{2}{3}. Esses são os vértices da hipérbole (pontos onde ela cruza a reta x=0 no plano do traço).
  • Assíntotas: desprezando o termo constante -4 e usando apenas os termos de grau 2 obtém-se a equação das assíntotas aproximadas:
x^{2}-9z^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 3z.
Ou seja, as retas x=3z e x=-3z são as assíntotas da hipérbole.

Passo 6

Resumo prático para a prova: faça sempre a substituição do plano na equação da superfície, simplifique, coloque em forma padrão dividindo pelo constante do lado direito (se não for zero) e compare com as formas conhecidas
\text{elipse: }\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}=1,\qquad \text{hipérbole: }\frac{z^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,\qquad \text{parábola: } \text{termo quadrático único}.éááú
No caso desta questão obteve-se a forma de hipérbole com a=\tfrac{2}{3} e b=2.

Resposta

x^{2}-9z^{2}=-4
Hipérbole

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