Nestes exercícios, os traços das superfícies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Passo 1
O enunciado dá a superfície e o plano:
- Superfície:
. - Plano:
.
O que é pedido:
- Obter a equação do traço (interseção) da superfície com o plano
. - Dizer se esse traço é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A interseção é obtida substituindo
na equação da superfície. - O traço será uma cônica no plano coordenado formado pelas variáveis restantes
e .
Passo 2
Substituir
na equação da superfície. Isso significa que em toda ocorrência de
colocamos
:
Agora simplificamos o termo com
:
Passo 3
Reorganizar a equação para uma forma mais clara:
Multiplicando por
e reordenando:
Dividindo ambos os lados por
para tentar a forma padrão de uma cônica:
Podemos também escrever isolando os denominadores:
Comparando com a forma padrão de uma hipérbole centrada na origem
vemos que aqui
e
. Assim
e
.
Passo 4
Regra de classificação (explicação didática): para uma cônica sem termo misto (
) escrita como
termos lineares/constante, o tipo depende dos sinais de
e
:
- Se
e têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) e o lado direito for positivo, é uma elipse. - Se exatamente um dos coeficientes quadráticos é zero, é uma parábola.
- Se
e têm sinais opostos, é uma hipérbole.
No nosso caso, considerando as variáveis
e
, os coeficientes são
(para
) e
(para
). Como têm sinais opostos, isso indica uma hipérbole.
Uma verificação alternativa (mais formal) usa o discriminante da cônica
(onde
é o coeficiente de
). Aqui
, então
o que também caracteriza uma hipérbole.
Passo 5
Algumas propriedades úteis para desenhar ou reconhecer melhor o traço:
- Vértices: colocar
na equação dá , logo . Esses são os vértices da hipérbole (pontos onde ela cruza a reta no plano do traço). - Assíntotas: desprezando o termo constante
e usando apenas os termos de grau 2 obtém-se a equação das assíntotas aproximadas:
Ou seja, as retas
e
são as assíntotas da hipérbole.
Passo 6
Resumo prático para a prova: faça sempre a substituição do plano na equação da superfície, simplifique, coloque em forma padrão dividindo pelo constante do lado direito (se não for zero) e compare com as formas conhecidas
No caso desta questão obteve-se a forma de hipérbole com
e
.
Resposta
Hipérbole