Nestes exercícios, os traços das superfícies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
z=x^{2}-4 y^{2} ; x=1

Passo 1

O enunciado dá a superfície \,z=x^{2}-4y^{2}\, e o plano \,x=1\, e pede, para essa interseção (traço):
  • obter uma equação do traço;
  • identificar se o traço é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
    Informações relevantes fornecidas:
  • equação da superfície: \,z=x^{2}-4y^{2}\,;
  • equação do plano que corta a superfície: \,x=1\,.

Passo 2

O que significa obter o traço no plano \,x=1\,? Significa substituir \,x=1\, na equação da superfície e estudar a curva resultante no sistema de coordenadas (y,z) desse plano. Vou fazer a substituição direta.
z = (1)^{2} - 4y^{2}

Passo 3

Simplificando a expressão obtida na substituição:
z = 1 - 4y^{2}.
Esta é a equação da curva de interseção escrita explicitamente como z em função de y.

Passo 4

Para classificar a curva como elipse, parábola ou hipérbole uso a forma geral de uma cônica em (y,z):
A y^{2} + B yz + C z^{2} + D y + E z + F = 0.
Vamos escrever a nossa curva nessa forma. Reescrevendo \,z=1-4y^{2}\, em uma única igualdade com zero:
4y^{2} + z - 1 = 0.
Comparando com a forma geral, os coeficientes são: A=4, B=0, C=0, D=0, E=1, F=-1.

Passo 5

Uma regra simples de classificação (usada para cônicas gerais) é calcular o discriminante
\Delta = B^{2} - 4AC.
  • Se \Delta<0 tipicamente temos uma elipse (ou um ponto, ou vazio).
  • Se \Delta=0 temos uma parábola.
  • Se \Delta>0 temos uma hipérbole.
    Calculo aqui:
\Delta = 0^{2} - 4\cdot 4\cdot 0 = 0.
Como \Delta=0, a curva é uma parábola.

Passo 6

Uma verificação mais direta e intuitiva: a equação já está em forma de função quadrática em y e linear em z. Colocando em forma de vértice:
z = 1 - 4y^{2} = -4\bigl(y-0\bigr)^{2} + 1.
Isto é exatamente a forma padrão de uma parábola (vértice em (y,z)=(0,1), abre para baixo no eixo z). Isso confirma a classificação.

Resposta

z = 1 - 4y^{2}
Parábola

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