Nestes exercícios, os traços das superfícies nos planos são seções cônicas. Em cada parte, obtenha uma equação do traço e afirme se é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e o plano
e pede, para essa interseção (traço):
- obter uma equação do traço;
- identificar se o traço é uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole.
Informações relevantes fornecidas: - equação da superfície:
; - equação do plano que corta a superfície:
.
Passo 2
O que significa obter o traço no plano
? Significa substituir
na equação da superfície e estudar a curva resultante no sistema de coordenadas
desse plano. Vou fazer a substituição direta.
Passo 3
Simplificando a expressão obtida na substituição:
Esta é a equação da curva de interseção escrita explicitamente como
em função de
.
Passo 4
Para classificar a curva como elipse, parábola ou hipérbole uso a forma geral de uma cônica em
:
Vamos escrever a nossa curva nessa forma. Reescrevendo
em uma única igualdade com zero:
Comparando com a forma geral, os coeficientes são:
,
,
,
,
,
.
Passo 5
Uma regra simples de classificação (usada para cônicas gerais) é calcular o discriminante
- Se
tipicamente temos uma elipse (ou um ponto, ou vazio). - Se
temos uma parábola. - Se
temos uma hipérbole.
Calculo aqui:
Como
, a curva é uma parábola.
Passo 6
Uma verificação mais direta e intuitiva: a equação já está em forma de função quadrática em
e linear em
. Colocando em forma de vértice:
Isto é exatamente a forma padrão de uma parábola (vértice em
, abre para baixo no eixo
). Isso confirma a classificação.
Resposta
Parábola