Netflix resolveu atualizar as séries boas todas durante a época de provas, como a gurizada tá estudando, resolveram fazer uma maratona no fim do semestre. Para isso, conseguiram uma lente delgada convergente de distância focal 60 cm . A televisão e a parede em que sua imagem deve ser projetada estão distantes 6 m uma da outra. A que distância da televisão deve-se colocar a lente para obter uma imagem nítida e com maior aumento linear? A imagem da televisão será direita ou invertida?

Passo 1

O enunciado fala de uma lente delgada convergente de distância focal f=60,cm que deve formar, a partir de uma televisão (objeto) e numa parede (ecrã) separada 6 m, uma imagem nítida com o maior aumento linear possível.
Para resolver, vamos usar a equação dos focos da lente delgada e a expressão do aumento linear.

Passo 2

Seja p a distância objeto–lente e q a distância lente–imagem. Como TV e parede estão a 6 m =600 cm,
p + q = 600.
A equação dos focos é
\frac{1}{f} \;=\;\frac{1}{p} + \frac{1}{q},
com f=60.

Passo 3

Substituindo q=600-p\) em \(\frac{1}{60}=\frac{1}{p}+\frac{1}{600-p}\), obtemos \[\frac{600}{p(600-p)}=\frac{1}{60} \quad\Longrightarrow\quad p(600-p)=36000 \quad\Longrightarrow\quad p^2-600p+36000=0.
Resolvendo a quadrática,
p=\frac{600\pm\sqrt{600^2-4\cdot36000}}{2} =\frac{600\pm\sqrt{216000}}{2} \approx \begin{cases} 532{,}4\;\text{cm},\\\\ 67{,}6\;\text{cm}. \end{cases}
Isso gera os correspondentes q=600-p\approx67{,}6\]\,cm ou \(532{,}4,cm.

Passo 4

O aumento linear é (em valor absoluto)
|m|=\frac{q}{p}.
Para (p,q)\approx(532{,}4,67{,}6) |m|\approx0{,}127, e para (p,q)\approx(67{,}6,532{,}4) |m|\approx7{,}88.
Logo, para maior aumento, escolhemos
p\approx67{,}6\;\text{cm}, \quad q\approx532{,}4\;\text{cm}.

Passo 5

Como se forma uma imagem real q>0, o sinal do aumento é
m = -\frac{q}{p}<0,
ou seja, a imagem fica invertida.

Resposta

Distância da lente até a TV: aproximadamente 67{,}6,cm,
aumenta ao máximo e a imagem sai invertida.

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