Considere uma feixe de partículas de massa
e energia cinética média
que incidem em uma barreira quadrada de largura
e altura
, onde
. Escreva a expressão que descreve a taxa de transmissão de tunelamento e discuta como o valor desta taxa muda quando variamos os parâmetros
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre partículas se comportando de uma maneira meio mágica chamada “tunelamento quântico”. A situação é a seguinte: temos partículas com massa $ m_{0} $ e energia cinética média $ E_{k} $ que estão batendo em uma barreira quadrada que tem uma largura $ L $ e uma altura $ V_{0}
E_{k} < V_{0} $). Nosso objetivo é escrever a expressão que descreve a taxa de transmissão desse tunelamento e discutir como essa taxa muda quando variamos os parâmetros $ m_{0} $, $ E_{k} $, $ L $ e $ V_{0} $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é esse tal de tunelamento. No mundo clássico, se uma partícula não tem energia suficiente para superar uma barreira, ela simplesmente não passa. Mas na mecânica quântica, as partículas têm uma natureza dual onda-partícula, o que permite que elas “tunelarem” através de barreiras mesmo sem energia suficiente para superá-las. Isso é tipo um truque de mágica do mundo quântico!
Passo 3
Para descrever isso matematicamente, usamos a Equação de Schrödinger, que é a equação fundamental da mecânica quântica. Considerando uma barreira potencial retangular, a equação nos dará uma função de onda que descreve a probabilidade da partícula estar em diferentes posições.
Passo 4
A solução para a taxa de transmissão (ou coeficiente de transmissão) $ T $ para uma barreira quadrada onde $ E_{k} < V_{0} $ é dada por:
Aqui, $ \gamma $ é uma constante que depende da massa da partícula, da diferença entre a altura da barreira e a energia cinética, e da constante de Planck reduzida $ \hbar $. Especificamente:
Essa expressão mostra que a taxa de transmissão decai exponencialmente com o aumento da largura $ L $ da barreira e com o aumento da massa $ m_{0} $ da partícula. Também depende da diferença $ V_{0} - E_{k} $.
Passo 5
Agora, vamos ver como a taxa de transmissão $ T $ muda quando a gente varia cada um dos parâmetros:
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Massa ($ m_{0} $): Se a massa da partícula aumenta, $ \gamma $ aumenta, o que faz com que $ T $ diminua. Ou seja, partículas mais pesadas têm menos chance de tunelar através da barreira.
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Energia Cinética ($ E_{k} $): Se a energia cinética aumenta (mas ainda é menor que $ V_{0} $), $ V_{0} - E_{k} $ diminui, então $ \gamma $ diminui, e $ T $ aumenta. Partículas com mais energia cinética têm mais chance de tunelar.
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Largura da Barreira ($ L $): Se a largura da barreira aumenta, $ T $ diminui exponencialmente. Barreiras mais largas são mais difíceis de tunelar.
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Altura da Barreira ($ V_{0} $): Aumentar $ V_{0} $ aumenta $ V_{0} - E_{k} $, então $ \gamma $ aumenta e $ T $ diminui. Barreiras mais altas tornam o tunelamento menos provável.
Resposta
A taxa de transmissão de tunelamento é dada por:
Essa taxa diminui quando aumentamos a massa $ m_{0} $, a largura $ L $ ou a altura $ V_{0} $ da barreira, e aumenta quando aumentamos a energia cinética $ E_{k} $ das partículas.