(Nilo, p. 283, q. 4) Um cilindro de 5,0 \mathrm{~cm} de diâmetro interno, dotado de um pistão móvel, contém 1,4 \mathrm{~g} de gás nitrogênio a 300 K . A massa do pistão é de 5,0 \mathrm{~kg} e um corpo de 20,0 \mathrm{~kg} repousa sobre o pistão. A pressão externa sobre o cilindro é de 100,0 \mathrm{kPa}. Considere comportamento ideal.
a) Calcule a pressão absoluta do gás no cilindro e o volume ocupado pelo nitrogênio. R: 225 kPa e 5,54.10^{-4} \mathrm{~m}^{3}, respectivamente.
b) Suponha que o corpo seja repentinamente removido e o pistão se eleva para uma nova posição de equilíbrio. Calcule o trabalho de expansão feito pelo gás e a quantidade de calor trocado com as vizinhanças durante o processo, se a temperatura final do gás é a mesma que a inicial. R: Q =+55,38 \mathrm{~J} e W =-55,38 \mathrm{~J}.

Passo 1

O enunciado trata de um cilindro de diâmetro interno D=5,0\,\mathrm{cm}=0,050\,\mathrm{m} com pistão móvel que sustenta seu próprio peso m_{\rm pistão}=5,0\,\mathrm{kg}ã mais um corpo de m_{\rm corpo}=20,0\,\mathrm{kg}. No interior há m_{\rm gás}=1,4\,\mathrm{g}=1,4\times10^{-3}\,\mathrm{kg}á de nitrogênio à temperatura T=300\,\mathrm{K}, considerado gás ideal.
Conteúdos: equilíbrio de pressões (peso sobre área), lei dos gases ideais e primeira lei da termodinâmica em processo isotérmico.

Passo 2

Calcular a pressão absoluta inicial p_1. A força total sobre o pistão é a soma do peso do pistão e do corpo, F=(m_{\rm pistão}+m_{\rm corpo})\,gã. A área do pistão é
A = \frac{\pi D^2}{4} \;=\;\frac{\pi\,(0,050\,\mathrm{m})^2}{4}\approx1,9635\times10^{-3}\,\mathrm{m}^2.
A pressão exercida por esse peso é F/A, e somando-se à pressão externa p_{\rm ext}=100,0\,\mathrm{kPa} obtemos
p_1 = p_{\rm ext} + \frac{(m_{\rm pistão}+m_{\rm corpo})\,g}{A} =100{,}0\times10^3 + \frac{(5{,}0+20{,}0)\times9{,}8}{1{,}9635\times10^{-3}}\;\mathrm{Pa} \approx225\times10^3\,\mathrm{Pa}.ã

Passo 3

Calcular o volume inicial V_1 usando a lei dos gases ideais. Primeiro convertemos a massa em mols: a massa molar do N _2 é M=28,0\,\mathrm{g/mol}, logo
n = \frac{m_{\rm gás}}{M} = \frac{1{,}4\,\mathrm{g}}{28{,}0\,\mathrm{g/mol}}=0,050\,\mathrm{mol}.á
Pela lei dos gases ideais p_1 V_1 = n R T, com R=8{,}314\,\mathrm{J/(mol\,K)},
V_1 = \frac{n R T}{p_1} = \frac{0,050\times8{,}314\times300}{225\times10^3}\,\mathrm{m}^3 \approx5,54\times10^{-4}\,\mathrm{m}^3.

Passo 4

Após remover repentinamente o corpo de 20,0\,\mathrm{kg}, resta apenas o peso do pistão. A nova pressão de equilíbrio do gás é
p_2 = p_{\rm ext} + \frac{m_{\rm pistão}\,g}{A} =100{,}0\times10^3 + \frac{5{,}0\times9{,}8}{1{,}9635\times10^{-3}} \approx1,2495\times10^5\,\mathrm{Pa}.ã

Passo 5

Como o processo final é isotérmico ( T constante), o volume final V_2 vem de
V_2 = \frac{n R T}{p_2} = \frac{0,050\times8{,}314\times300}{1,2495\times10^5} \approx9,98\times10^{-4}\,\mathrm{m}^3.

Passo 6

Calcular o trabalho de expansão W. Esse trabalho é dado por
W = -\int_{V_1}^{V_2} p_{\rm ext}^{\star}\,dV
onde p_{\rm ext}^{\star}=p_2 é a pressão externa constante após remoção. Assim,
W = -\,p_2\,(V_2 - V_1) = -\,1,2495\times10^5\,(9,98-5,54)\times10^{-4}\,\mathrm{J} \approx -55,38\,\mathrm{J}.

Passo 7

Na primeira lei da termodinâmica \Delta U = Q + W. Em processo isotérmico de gás ideal \Delta U=0, logo
Q = -\,W \approx +55,38\,\mathrm{J}.

Resposta

a) p_1 = 225\,\mathrm{kPa} e V_1 = 5,54\times10^{-4}\,\mathrm{m}^3.
b) Trabalho de expansão W = -55,38\,\mathrm{J} e calor trocado Q = +55,38\,\mathrm{J}.

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