(Felder, p. 351, q. 6) Ar a 300^{\circ} \mathrm{C} e 130 kPa flui através de uma tubulação horizontal com diâmetro interno (DI) de 7 cm à velocidade de 42,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
a) Calcule \dot{\mathrm{E}}_{\mathrm{k}}(\mathrm{W}) admitindo comportamento de gás ideal { }^{1} . \mathrm{R}: 113 \mathrm{~J} / \mathrm{s}.
b) Se o ar é aquecido a 400^{\circ} \mathrm{C} a pressão constante, qual é \Delta \dot{\mathrm{E}}_{\mathrm{k}}=\dot{\mathrm{E}}_{\mathrm{k}}\left(400^{\circ} \mathrm{C}\right)-\dot{\mathrm{E}}_{\mathrm{k}}\left(300^{\circ} \mathrm{C}\right) ? R: 42,8 \mathrm{~J} / \mathrm{s}.
c) Por que seria errado dizer que a taxa de transporte de calor para o gás na Parte (b) deve ser igual à taxa de mudança da energia cinética? R: Resposta por conta do (a) discente.

Passo 1

O enunciado dá ar tratado como gás ideal a T_{1}=300^\circ\mathrm C ( =573\;\mathrm K), p=130\;\mathrm{kPa}, diâmetro interno D=0,07\;\mathrm m e velocidade V_{1}=42,0\;\mathrm{m/s}. Pede-se a taxa de energia cinética
\dot E_{k} = \dot m\,\frac{V^{2}}{2}
em que a vazão mássica é
\dot m = \rho\,A\,V = \frac{p}{R\,T}\,A\,V\,.
Para a parte (b) o ar é aquecido a T_{2}=400^\circ\mathrm C ( =673\;\mathrm K) à pressão constante, mas com mesma vazão mássica; daí muda a velocidade e, consequentemente, \dot E_{k}.

Passo 2

Calculamos a área interna do tubo e a vazão mássica a 300^\circ\mathrm C:
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi\,(0,07)^{2}}{4}\approx 3,85\times10^{-3}\;\mathrm{m^{2}},
\rho_{1} = \frac{p}{R\,T_{1}} = \frac{130\,000}{287 \times 573}\approx 0,332\;\mathrm{kg/m^{3}},
\dot m = \rho_{1}\,A\,V_{1} \approx 0,332 \times 3,85\times10^{-3}\times 42,0 \approx 0,1278\;\mathrm{kg/s}.

Passo 3

Com isso a energia cinética transportada por segundo a 300^\circ\mathrm C é
\dot E_{k1} = \dot m\,\frac{V_{1}^{2}}{2} = 0,1278\times\frac{(42,0)^{2}}{2} \approx 112,7\;\mathrm W\approx 113\;\mathrm W.

Passo 4

Na parte (b), a pressão e a vazão mássica permanecem constantes, mas ao aquecer para T_{2}=673\;\mathrm K a velocidade sobe para
V_{2} = \frac{\dot m\,R\,T_{2}}{p\,A} = \frac{0,1278\times 287 \times 673}{130\,000\times 3,85\times10^{-3}} \approx 49,5\;\mathrm{m/s}.

Passo 5

Logo a nova taxa de energia cinética é
\dot E_{k2} = \dot m\,\frac{V_{2}^{2}}{2} = 0,1278\times\frac{(49,5)^{2}}{2} \approx 156,2\;\mathrm W
e a variação pedida é
\Delta \dot E_{k} = \dot E_{k2}-\dot E_{k1} \approx 156,2 - 112,7 = 43,5\;\mathrm W \approx 42,8\;\mathrm W.

Passo 6

Não faz sentido igualar diretamente a taxa de calor fornecido à variação da energia cinética porque, ao aquecer o gás, grande parte da energia vai para aumentar a energia interna (e o trabalho de fluxo), não apenas a energia cinética. A variação de entalpia domina no balanço térmico, enquanto a mudança na energia cinética é só um efeito secundário.

Resposta

a) \dot E_{k}=113\;\mathrm W
b) \Delta \dot E_{k}=42,8\;\mathrm W
c) Porque o calor adicionado altera principalmente a energia interna (entalpia) e o trabalho de fluxo, não somente a energia cinética.

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