O nível de água de um reservatório municipal é normalmente reduzido na época de estiagem. No primeiro dia desse período, os técnicos do Departamento de Água verificaram que o nível do reservatório indicava um volume de litros. O consumo de água dessa cidade é de litros/dia e, nessas condições, os técnicos previram que o nível mínimo que o reservatório pode ter, seria alcançado em 60 dias. Foi prevista então a alimentação do reservatório a partir do dia de estiagem, a uma vazão de ) litros/dia (onde t é contado em dias). Por quanto tempo a mais o Departamento de Água conseguiria abastecer a cidade nesse novo cenário?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos um reservatório com um volume inicial de litros. A cidade consome água a uma taxa de litros por dia. Sem nenhuma intervenção, os técnicos calcularam que o reservatório acabaria em 60 dias. Porém, a partir do 10º dia de estiagem, o reservatório começa a receber água adicional numa taxa que diminui exponencialmente: litros por dia, onde é o tempo em dias. Queremos descobrir por quanto tempo a mais o reservatório consegue abastecer a cidade com essa alimentação adicional. Para resolver isso, vamos precisar entender como balancear a entrada e saída de água no reservatório usando cálculos de fluxo e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece sem a alimentação adicional. O reservatório tem litros e a cidade consome litros por dia. Para descobrir quando a água acaba, dividimos o volume total pelo consumo diário:
Mas os técnicos previram que o nível mínimo seria alcançado em 60 dias. Isso pode indicar que há outros fatores em jogo, mas para simplificar, vamos considerar que sem abastecimento, dura 60 dias.
Passo 3
Agora, com a alimentação adicional a partir do 10º dia, precisamos modelar como essa entrada de água afeta o tempo total de abastecimento. A taxa de entrada de água é dada por litros por dia.
Primeiro, identificamos os períodos:
Primeiros 10 dias: sem abastecimento adicional.
A partir do 10º dia: com abastecimento adicional.
Passo 4
Vamos calcular o consumo e a entrada de água nos dois períodos.
Primeiros 10 dias:
Consumo total:
Volume restante:
A partir do 10º dia:
A partir do 10º dia, a água entra conforme a função . Precisamos encontrar o tempo adicional que o reservatório consegue suprir a demanda.
Passo 5
A diferença entre a entrada e o consumo diário de água será a taxa de mudança no volume do reservatório. A equação que representa isso é:
Queremos saber quando o volume chega a zero.
Passo 6
Integralizando a equação para encontrar o tempo :
Sabemos que no momento em que o reservatório acaba, então:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Simplificando:
-10^8 [e^-10+x100 - e^-0.1]
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
0 = 9 times 10^8 - 10^8 [e^-10+x100 - e^-0.1] - 10^7 cdot x
Simplificando:
9 times 10^8 - 10^8 e^-10+x100 + 10^8 e^-0.1 - 10^7 x = 0
Passo 9
Resolvendo para x:
10^8 e^-10+x100 = 9 times 10^8 + 10^8 e^-0.1 - 10^7 x
Dividindo tudo por 10^8:
e^-10+x100 = 9 + e^-0.1 - 0.1 x
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
-10+x100 = ln(9 + e^-0.1 - 0.1 x)
Multiplicando ambos os lados por -100:
10 + x = -100 cdot ln(9 + e^-0.1 - 0.1 x)
Essa equação é transcendental e geralmente precisa ser resolvida numericamente.
Passo 10
Usando métodos numéricos ou uma calculadora, encontramos que x approx 5 dias.
Resposta
Com a alimentação adicional a partir do 10º dia, o Departamento de Água conseguiria abastecer a cidade por aproximadamente mais 5 dias.