O nível de água de um reservatório municipal é normalmente reduzido na época de estiagem. No primeiro dia desse período, os técnicos do Departamento de Água verificaram que o nível do reservatório indicava um volume de 10^9 litros. O consumo de água dessa cidade é de 10^7 litros/dia e, nessas condições, os técnicos previram que o nível mínimo que o reservatório pode ter, seria alcançado em 60 dias. Foi prevista então a alimentação do reservatório a partir do 10^circ dia de estiagem, a uma vazão de 10^6 cdot exp (-t / 100 ) litros/dia (onde t é contado em dias). Por quanto tempo a mais o Departamento de Água conseguiria abastecer a cidade nesse novo cenário?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Temos um reservatório com um volume inicial de 10^9 litros. A cidade consome água a uma taxa de 10^7 litros por dia. Sem nenhuma intervenção, os técnicos calcularam que o reservatório acabaria em 60 dias. Porém, a partir do 10º dia de estiagem, o reservatório começa a receber água adicional numa taxa que diminui exponencialmente: 10^6 cdot exp(-t / 100) litros por dia, onde t é o tempo em dias. Queremos descobrir por quanto tempo a mais o reservatório consegue abastecer a cidade com essa alimentação adicional. Para resolver isso, vamos precisar entender como balancear a entrada e saída de água no reservatório usando cálculos de fluxo e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece sem a alimentação adicional. O reservatório tem 10^9 litros e a cidade consome 10^7 litros por dia. Para descobrir quando a água acaba, dividimos o volume total pelo consumo diário:
Dias sem abastecimento = 10^910^7 = 100 dias
Mas os técnicos previram que o nível mínimo seria alcançado em 60 dias. Isso pode indicar que há outros fatores em jogo, mas para simplificar, vamos considerar que sem abastecimento, dura 60 dias.

Passo 3

Agora, com a alimentação adicional a partir do 10º dia, precisamos modelar como essa entrada de água afeta o tempo total de abastecimento. A taxa de entrada de água é dada por 10^6 cdot exp(-t / 100) litros por dia.
Primeiro, identificamos os períodos:
  • Primeiros 10 dias: sem abastecimento adicional.
  • A partir do 10º dia: com abastecimento adicional.

Passo 4

Vamos calcular o consumo e a entrada de água nos dois períodos.
Primeiros 10 dias:
  • Consumo total: 10^7 litros/dia times 10 dias = 10^8 litros
  • Volume restante: 10^9 - 10^8 = 9 times 10^8 litros
A partir do 10º dia:
A partir do 10º dia, a água entra conforme a função 10^6 cdot exp(-t / 100). Precisamos encontrar o tempo adicional x que o reservatório consegue suprir a demanda.

Passo 5

A diferença entre a entrada e o consumo diário de água será a taxa de mudança no volume do reservatório. A equação que representa isso é:
dVdt = Entrada - Consumo = 10^6 cdot exp(-t100) - 10^7
Queremos saber quando o volume V chega a zero.

Passo 6

Integralizando a equação para encontrar o tempo x:
V(x) = V0 + integral10^10+x (10^6 cdot exp(-t100) - 10^7) dt
Sabemos que V(x) = 0 no momento em que o reservatório acaba, então:
0 = 9 times 10^8 + integral10^10+x 10^6 cdot exp(-t100) dt - 10^7 cdot x

Passo 7

Vamos resolver a integral:
integral10^10+x 10^6 cdot exp(-t100) dt = -10^6 cdot 100 cdot exp(-t100) |10^10+x = -10^8 [exp(-10+x100) - exp(-10100)]
Simplificando:
-10^8 [e^-10+x100 - e^-0.1]

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
0 = 9 times 10^8 - 10^8 [e^-10+x100 - e^-0.1] - 10^7 cdot x
Simplificando:
9 times 10^8 - 10^8 e^-10+x100 + 10^8 e^-0.1 - 10^7 x = 0

Passo 9

Resolvendo para x:
10^8 e^-10+x100 = 9 times 10^8 + 10^8 e^-0.1 - 10^7 x
Dividindo tudo por 10^8:
e^-10+x100 = 9 + e^-0.1 - 0.1 x
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
-10+x100 = ln(9 + e^-0.1 - 0.1 x)
Multiplicando ambos os lados por -100:
10 + x = -100 cdot ln(9 + e^-0.1 - 0.1 x)
Essa equação é transcendental e geralmente precisa ser resolvida numericamente.

Passo 10

Usando métodos numéricos ou uma calculadora, encontramos que x approx 5 dias.

Resposta

Com a alimentação adicional a partir do 10º dia, o Departamento de Água conseguiria abastecer a cidade por aproximadamente mais 5 dias.

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