Calcule os momentos de inércia de um retângulo e de um círculo a partir da definição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momentos de inércia de um retângulo e de um círculo usando a definição. Momentos de inércia são importantes na física e na engenharia para entender como um objeto resiste a rotações. Para calcular, vamos precisar usar integrais e entender um pouco sobre coordenadas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de como a massa (ou área, se estivermos falando de áreas) está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia $ I $ em relação a um eixo é:
Aqui, $ r $ é a distância de um ponto da área até o eixo de rotação, e $ dA $ é um elemento infinitesimal da área.
Passo 3
Vamos começar com o retângulo. Suponha que temos um retângulo com base $ b $ e altura $ h $, e queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro do retângulo e é perpendicular ao plano.
Para facilitar, podemos usar coordenadas cartesianas onde o centro do retângulo está na origem. Assim, os limites de integração serão de $ -\frac{b}{2} $ a $ \frac{b}{2} $ no eixo $ x $ e de $ -\frac{h}{2} $ a $ \frac{h}{2} $ no eixo $ y $.
Passo 4
Aplicando a fórmula do momento de inércia para o retângulo:
Aqui, $ r^2 = x^2 + y^2 $ porque estamos considerando a distância até o eixo central.
Passo 5
Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a $ y $:
A integral interna fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a $ x $:
Mas, na verdade, o momento de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo central é:
Passo 7
Agora vamos calcular o momento de inércia de um círculo. Suponha que temos um círculo com raio $ R $ e queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano.
Aqui, é conveniente usar coordenadas polares, já que a simetria do círculo facilita a integração.
Passo 8
A fórmula do momento de inércia em coordenadas polares é:
Em coordenadas polares, $ dA = r , dr , d\theta $. Então:
Passo 9
Resolvendo a integral:
Primeiro, integramos em relação a $ r $:
Depois, integramos em relação a $ \theta $:
Resposta
O momento de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo central é $ I_{retângulo} = \frac{b h^3}{12} $ e o momento de inércia de um círculo em relação ao seu eixo central é $ I_{círculo} = \frac{\pi R^4}{2} $.