Calcule os momentos de inércia de um retângulo e de um círculo a partir da definição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre momentos de inércia de um retângulo e de um círculo usando a definição. Momentos de inércia são importantes na física e na engenharia para entender como um objeto resiste a rotações. Para calcular, vamos precisar usar integrais e entender um pouco sobre coordenadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o momento de inércia. É uma medida de como a massa (ou área, se estivermos falando de áreas) está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula geral para o momento de inércia $ I $ em relação a um eixo é:
I
Aqui, $ r $ é a distância de um ponto da área até o eixo de rotação, e $ dA $ é um elemento infinitesimal da área.

Passo 3

Vamos começar com o retângulo. Suponha que temos um retângulo com base $ b $ e altura $ h $, e queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro do retângulo e é perpendicular ao plano.
Para facilitar, podemos usar coordenadas cartesianas onde o centro do retângulo está na origem. Assim, os limites de integração serão de $ -\frac{b}{2} $ a $ \frac{b}{2} $ no eixo $ x $ e de $ -\frac{h}{2} $ a $ \frac{h}{2} $ no eixo $ y $.

Passo 4

Aplicando a fórmula do momento de inércia para o retângulo:
Iretângulo = integral-b2^b2 integral-h2^h2 (x^2 + y^2) , dy , dx â
Aqui, $ r^2 = x^2 + y^2 $ porque estamos considerando a distância até o eixo central.

Passo 5

Vamos resolver a integral. Primeiro, integramos em relação a $ y $:
y â
A integral interna fica:
Iretângulo = integral-b2^b2 [ integral-h2^h2 (x^2 + y^2) , dy ] dx

Passo 6

Agora, integramos em relação a $ x $:
x â
Mas, na verdade, o momento de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo central é:
Iretângulo = integral-b2^b2 ( x^2 h + h^312 ) dx = h [ b^312 ] + h^312 cdot b = b h^312 + b h^312 = b h^312 + b h^312 = b h^312 cdot 2 = b h^36 â

Passo 7

Agora vamos calcular o momento de inércia de um círculo. Suponha que temos um círculo com raio $ R $ e queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro e é perpendicular ao plano.
Aqui, é conveniente usar coordenadas polares, já que a simetria do círculo facilita a integração.

Passo 8

A fórmula do momento de inércia em coordenadas polares é:
I = integral r^2 , dA
Em coordenadas polares, $ dA = r , dr , d\theta $. Então:
dA = r , dr , dtheta í

Passo 9

Resolvendo a integral:
Primeiro, integramos em relação a $ r $:
r
Depois, integramos em relação a $ \theta $:
integral0^R r^3 , dr = R^44 í

Resposta

O momento de inércia de um retângulo em relação ao seu eixo central é $ I_{retângulo} = \frac{b h^3}{12} $ e o momento de inércia de um círculo em relação ao seu eixo central é $ I_{círculo} = \frac{\pi R^4}{2} $.

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