1-O nível de colesterol no sangue é uma variável com distribuição Normal, de média mu desconhecida e desvio padrão sigma=60 mg / 100 ml.
a) Qual deve ser o valor de n para que apenas 10 % das médias amostrais excedam a média populacional em 10 unidades ou mais?
b) Teste a hipótese de que mu=260, contra a alternativa de que mu>260 com base numa amostra de 50 pacientes, em que se observou uma média amostral barx=268. Utilize um nível de significância de 5 %.
c) Construa um intervalo com 95 % de confiança (bilateral) para o nível médio populacional de colesterol.
d) Qual deve ser o tamanho amostral para que um intervalo de 99 % de confiança para mu tenha um comprimento de 30 unidades?
2- A fim de acelerar o tempo que um analgésico leva para penetrar na corrente sangüínea, um químico analista acrescentou certo componente à fórmula original, que acusava um tempo médio de 43 minutos. Em 36 observações com a nova fórmula, obteve-se um tempo médio de 42 minutos, com desvio padrão de 6 minutos.
a) O que podemos concluir, ao nível de 5 % de significância, sobre a eficiência do novo componente?
b) Qual seria a resposta ao nível de 1 % ?
c) Que tipo de erro pode ser cometido?
d) Estime o tempo médio que o analgésico leva para penetrar na corrente sanguínea com um nível de 95 % de confiança.

Passo 1

O enunciado 1 trata de uma variável de colesterol no sangue com distribuição normal N(mu,sigma^2), onde mu é desconhecida e sigma=60. Vamos usar propriedades da média amostral de uma normal (teorema do limite central exato) para testes e intervalos com sigma conhecido. O enunciado 2 trata do tempo de penetração de um analgésico, com amostra de tamanho n=36, média amostral bar x=42 e desvio padrão amostral s=6. Como sigma é desconhecida, usaremos teste e intervalo-t de Student.

Passo 2

Para 1(a) queremos
Pl(bar X > mu + 10r)=0,10
Padronizando,
Pl(Z>10sigma/raiz nr)=0,10 Longrightarrow 1060/raiz n=z0,10=1,2816
Logo
raiz n=1,2816cdot 6010=7,6896 Longrightarrow napprox59,14,
ou seja, deve-se tomar n=60.

Passo 3

Para 1(b) o teste é
H0:mu=260 versus H1:mu>260,
com nível alpha=0,05, n=50, bar x=268, sigma=60. O estatístico é
z=bar x-26060/raiz50 =268-26060/7,071 =88,485=0,943
O p-valor a um cauda é
p=1-Phi(0,943)approx0,173>0,05,
logo não rejeitamos H0.

Passo 4

Para 1(c) o intervalo de confiança bilateral de 95% para mu é
bar xpm z0,975,sigmaraiz n = 268pm1,96;60raiz50 = 268pm16,63,
isto é,
(251,37,;284,63)

Passo 5

Para 1(d) queremos um IC de 99% com comprimento total 30, logo semi-amplitude E=15. Com sigma=60 e z0,995=2,575,
n=l(z,sigmaEr)^2 =l(2,575cdot6015r)^2 =(10,3)^2approx106,1,
portanto n=107.

Passo 6

No enunciado 2 temos amostra de tamanho n=36, bar x=42, s=6, e queremos testar se o novo componente reduz o tempo médio, isto é
H0:mu=43 versus H1:mu<43,
usando o t-teste de Student e construir IC com confiança 95%.

Passo 7

Para 2(a), nível alpha=0,05 unilateral à esquerda, o estatístico é
t=bar x-43s/raiz36 =42-436/6 =-1,0
O valor crítico é t35,,0,95approx-1,689. Como -1,0>-1,689, não rejeitamos H0. Não há evidência de redução significativa.

Passo 8

Para 2(b), com alpha=0,01, o valor crítico é t35,,0,99approx-2,437. Como -1,0>-2,437, novamente não rejeitamos H0.

Passo 9

Para 2(c), o tipo de erro possível é:
Se rejeitarmos H0 (concluindo que o novo componente reduz o tempo) quando na verdade mu=43, cometemos erro tipo I. Se não rejeitarmos H0 quando mu<43 de fato, seria erro tipo II.

Passo 10

Para 2(d), o IC bilateral de 95% para mu usa t35,,0,975approx2,030:
bar xpm t,sraiz n = 42pm2,030;66 = 42pm2,03,
isto é,
(39,97,;44,03)

Resposta

1(a) napprox59,14, adote n=60.
1(b) z=0,943, papprox0,173>0,05, não rejeita H0.
1(c) IC 95%: (251,37,;284,63).
1(d) napprox106,1, adote n=107.
2(a) t=-1,0, crítico -1,689, não rejeita H0.
2(b) crítico -2,437, não rejeita H0.
2(c) Possível erro tipo I (rejeitar H0 quando mu=43).
2(d) IC 95%: (39,97,;44,03).

Exercícios relacionados