Nome:
Se
é o círculo
a orientação anti-horária, calcule
.
a)
b)
c)
d) 0
e)
.
Se
a)
b)
c)
d) 0
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de integração no plano complexo. A pergunta é: dada a curva $ C $ que é o círculo de raio 2 centrado na origem e orientado anti-horariamente, calcule a integral
. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Cauchy para derivadas que ajuda a calcular integrais envolvendo funções com polos de ordem superior.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o ponto $ z = i $ está dentro da curva $ C $. Como $ C $ é o círculo $ |z| = 2 $, vamos ver a magnitude de $ i $:
Como $ 1 < 2 $, o ponto $ z = i $ está dentro da curva $ C $. Isso significa que podemos aplicar o Teorema de Cauchy.
Passo 3
Agora, observamos que a função que estamos integrando tem um denominador
. Isso indica que temos um polo de ordem 4 em $ z = i $. Para integrar funções com polos de ordem maior que 1, usamos uma versão do Teorema de Cauchy que envolve derivadas.
Passo 4
O Teorema de Cauchy para derivadas nos diz que:
Aqui, $ f(z) = e{z2} $, $ a = i $, e $ n+1 = 4 $, então $ n = 3 $. Precisamos, portanto, calcular a terceira derivada de $ f(z) $ em $ z = i $.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas de $ f(z) = e{z2} $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Passo 6
Agora, avaliamos a terceira derivada em $ z = i $:
Espere! Isso deu zero? Vamos conferir os cálculos.
Na verdade, houve um erro na derivação da segunda e terceira derivada. Vamos recalcular:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Avaliação correta em $ z = i $:
Parece que realmente a terceira derivada em $ z = i $ é zero.
Passo 7
Voltando ao Teorema de Cauchy para derivadas:
Resposta
A resposta correta é a opção d) 0.