Nome:
Se C é o círculo |z|=2 com a orientação anti-horária, calcule integralC e^z^2(z-i)^4 d z.
a) -4 pi / 3 e
b) 2 pi / 3 e
c) 4 pi cdot i
d) 0
e) pi cdot i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo de integração no plano complexo. A pergunta é: dada a curva $ C $ que é o círculo de raio 2 centrado na origem e orientado anti-horariamente, calcule a integral C . Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema de Cauchy para derivadas que ajuda a calcular integrais envolvendo funções com polos de ordem superior.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o ponto $ z = i $ está dentro da curva $ C $. Como $ C $ é o círculo $ |z| = 2 $, vamos ver a magnitude de $ i $:
z = i
Como $ 1 < 2 $, o ponto $ z = i $ está dentro da curva $ C $. Isso significa que podemos aplicar o Teorema de Cauchy.

Passo 3

Agora, observamos que a função que estamos integrando tem um denominador (z - i)^4. Isso indica que temos um polo de ordem 4 em $ z = i $. Para integrar funções com polos de ordem maior que 1, usamos uma versão do Teorema de Cauchy que envolve derivadas.

Passo 4

O Teorema de Cauchy para derivadas nos diz que:
integralC f(z)(z - a)^n+1 dz = 2pi in! f^(n)(a)
Aqui, $ f(z) = e{z2} $, $ a = i $, e $ n+1 = 4 $, então $ n = 3 $. Precisamos, portanto, calcular a terceira derivada de $ f(z) $ em $ z = i $.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de $ f(z) = e{z2} $:
Primeira derivada:
f(z) = e^z^2
Segunda derivada:
f'(z) = 2z e^z^2
Terceira derivada:
f''(z) = 2 e^z^2 + 4z^2 e^z^2 = 2(1 + 2z^2) e^z^2

Passo 6

Agora, avaliamos a terceira derivada em $ z = i $:
z = i
Espere! Isso deu zero? Vamos conferir os cálculos.
Na verdade, houve um erro na derivação da segunda e terceira derivada. Vamos recalcular:
Primeira derivada:
f'''(i) = 8i(1 + i^2) e^i^2 = 8i(1 - 1) e^-1 = 8i(0) e^-1 = 0
Segunda derivada:
f'(z) = 2z e^z^2
Terceira derivada:
f''(z) = 2 e^z^2 + 4z^2 e^z^2 = 2(1 + 2z^2) e^z^2
Avaliação correta em $ z = i $:
f'''(z) = 8z e^z^2 + 8z^3 e^z^2 = 8z(1 + z^2) e^z^2
Parece que realmente a terceira derivada em $ z = i $ é zero.

Passo 7

Voltando ao Teorema de Cauchy para derivadas:
integralC e^z^2(z - i)^4 dz = 2pi i3! f'''(i) = 2pi i6 times 0 = 0

Resposta

A resposta correta é a opção d) 0.

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