Dê o nome e faça um esboço das superfícies dadas pelas equações abaixo.
x^2-y^2-z^2=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar como é a superfície definida pela equação e desenhar um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as superfícies quadráticas, que são tipos de formas geométricas em 3D definidas por equações de segundo grau.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma rearranjada na equação para facilitar a identificação da superfície. A equação original é:
x^2 - y^2 - z^2 = -1
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para ficar:
-x^2 + y^2 + z^2 = 1
Agora, ela fica assim:
y^2 + z^2 - x^2 = 1

Passo 3

Essa forma nos lembra das equações padrão das superfícies quadráticas. Especificamente, estamos vendo que temos dois termos positivos ( e ) e um termo negativo ( ). Isso é característico de uma hipérbole tridimensional chamada hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Para entender melhor, vamos lembrar que um hiperboloide de uma folha tem duas “folhas” que se abrem em direções opostas. No nosso caso, como o está com sinal negativo, isso indica que a abertura está ao longo do eixo x. As seções paralelas ao plano serão círculos, enquanto as seções paralelas a outros planos são hipérbolas.

Passo 5

Para fazer um esboço, imagine duas superfícies curvas que se estendem indefinidamente ao longo do eixo x, abrindo-se para ambos os lados. No centro, próximo à origem, as superfícies estão mais próximas, e conforme você se afasta ao longo do eixo x, elas se afastam formando uma forma semelhante a um prato ou a uma sela.

Resposta

A superfície dada pela equação é um hiperboloide de uma folha. O esboço dessa superfície apresenta duas “folhas” simétricas que se estendem ao longo do eixo x, formando uma forma curva que se abre para ambos os lados.

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