Dê o nome e faça um esboço das superfícies dadas pelas equações abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa identificar como é a superfície definida pela equação
e desenhar um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as superfícies quadráticas, que são tipos de formas geométricas em 3D definidas por equações de segundo grau.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma rearranjada na equação para facilitar a identificação da superfície. A equação original é:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para ficar:
Agora, ela fica assim:
Passo 3
Essa forma nos lembra das equações padrão das superfícies quadráticas. Especificamente, estamos vendo que temos dois termos positivos (
e
) e um termo negativo (
). Isso é característico de uma hipérbole tridimensional chamada hiperboloide de uma folha.
Passo 4
Para entender melhor, vamos lembrar que um hiperboloide de uma folha tem duas “folhas” que se abrem em direções opostas. No nosso caso, como o
está com sinal negativo, isso indica que a abertura está ao longo do eixo x. As seções paralelas ao plano
serão círculos, enquanto as seções paralelas a outros planos são hipérbolas.
Passo 5
Para fazer um esboço, imagine duas superfícies curvas que se estendem indefinidamente ao longo do eixo x, abrindo-se para ambos os lados. No centro, próximo à origem, as superfícies estão mais próximas, e conforme você se afasta ao longo do eixo x, elas se afastam formando uma forma semelhante a um prato ou a uma sela.
Resposta
A superfície dada pela equação
é um hiperboloide de uma folha. O esboço dessa superfície apresenta duas “folhas” simétricas que se estendem ao longo do eixo x, formando uma forma curva que se abre para ambos os lados.