Dê o nome e faça um esboço das superfícies dadas pelas equações abaixo.
4 x^2+9 y^2=36-z^2

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo de superfície dada por 4x^2 + 9y^2 = 36 - z^2 e fazer um esboço. O conteúdo é superfícies quádricas e vamos precisar reescrever a equação num formato padrão para reconhecer a superfície.

Passo 2

Somamos z^2 em ambos os lados para reunir todos os termos quadráticos no mesmo lado:
4x^2 + 9y^2 + z^2 = 36

Passo 3

Dividimos toda a equação por 36 para colocar em forma normalizada de quadric:
4x^236 + 9y^236 + z^236 = 1 Longrightarrow x^29 + y^24 + z^236 = 1

Passo 4

Reconhecemos que a soma de três quadrados divididos por constantes positivas igual a 1 define um elipsóide. Os semieixos são:
a=3 ao longo do eixo x,
b=2 ao longo do eixo y,
c=6 ao longo do eixo z.

Passo 5

As características para o esboço são:
• Interceptos com os eixos: (±3,0,0), (0,±2,0) e (0,0,±6).
• Simetria em relação aos três planos coordenados.
• Seções em planos paralelos a xy, xz ou yz são elipses.

Passo 6

Para desenhar o esboço, basta marcar esses interceptos e traçar uma superfície suave que passe por eles, mostrando a “bolinha” achatada nos eixos x e y e mais esticada no eixo z.

Resposta

A superfície é um elipsóide centrado na origem, dado por x^29+y^24+z^236=1. O esboço mostra interceptos em (±3,0,0), (0,±2,0) e (0,0,±6), com simetria nos planos coordenados.

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