Nome Legível:
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon
, curva polar dada pela equação
Determine os pontos
nos quais a reta tangente a
é vertical.
Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que envolve uma curva chamada limaçon, definida pela equação polar
. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos
nessa curva onde a reta tangente é vertical. Para isso, vamos precisar usar conceitos de coordenadas polares, derivadas e entender o que significa uma reta tangente ser vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
Então, para a nossa curva
, podemos escrever:
Passo 3
Agora, para encontrar a reta tangente vertical, precisamos entender quando a derivada
é indefinida, ou seja, quando o denominador dessa fração é zero. A derivada
pode ser encontrada usando a regra da cadeia:
Para que
seja indefinida (tangente vertical), precisamos que
.
Passo 4
Vamos calcular
e
.
Primeiro,
:
Usando a regra do produto:
Agora, igualando
:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 5
Vamos resolver cada caso:
Caso 1:
Isso ocorre quando
ou
.
-
Para
: Então:Ponto: -
Para
: Mas, comonegativo significa que a direção está no sentido oposto, podemos ajustar: Então:Ponto:
Caso 2:
Resolvendo:
Então:
Calculando
:
Agora, as coordenadas:
Então, temos dois pontos simétricos:
Resposta
Os pontos
na curva
onde a reta tangente é vertical são: