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Todas as respostas devem ser justificadas.
Questão 1. (1,0 ponto para cada item) Considere a limaçon C subset R^2, curva polar dada pela equação
r=1+2 cos (theta)
Determine os pontos (x, y) in C nos quais a reta tangente a C é vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que envolve uma curva chamada limaçon, definida pela equação polar . Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos nessa curva onde a reta tangente é vertical. Para isso, vamos precisar usar conceitos de coordenadas polares, derivadas e entender o que significa uma reta tangente ser vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter coordenadas polares para cartesianas. As fórmulas são:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
Então, para a nossa curva x = (1 + 2 cos(theta)) cos(theta) , podemos escrever:
y = (1 + 2 cos(theta)) sin(theta)

Passo 3

Agora, para encontrar a reta tangente vertical, precisamos entender quando a derivada dydx = dydthetadxdtheta é indefinida, ou seja, quando o denominador dessa fração é zero. A derivada pode ser encontrada usando a regra da cadeia:
Para que seja indefinida (tangente vertical), precisamos que .

Passo 4

Vamos calcular dxdtheta = ddtheta[(1 + 2 cos(theta)) cos(theta)] e dxdtheta = -2 sin(theta) cos(theta) + (1 + 2 cos(theta)) (-sin(theta)) = -2 sin(theta) cos(theta) - sin(theta) - 2 sin(theta) cos(theta) = -sin(theta)(1 + 4 cos(theta)) .
Primeiro, -sin(theta)(1 + 4 cos(theta)) = 0 :
Usando a regra do produto:
Agora, igualando :
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 5

Vamos resolver cada caso:
Caso 1: r = 1 + 2 cos(0) = 1 + 2(1) = 3
Isso ocorre quando x = 3 cos(0) = 3, y = 3 sin(0) = 0 ou r = 1 + 2 cos(pi) = 1 + 2(-1) = -1 .
  • Para r = 1, theta = 0 :
    x = 1 cos(0) = 1, y = 1 sin(0) = 0
    Então:
    4 cos(theta) = -1 implies cos(theta) = -14
    Ponto: theta = cos^-1(-14)
  • Para r = 1 + 2 cos(cos^-1(-14)) = 1 + 2 (-14) = 1 - 12 = 12 :
    x = 12 cos(cos^-1(-14)) = 12 (-14) = -18
    Mas, como y = 12 sin(cos^-1(-14)) = 12 cdot raiz154 = raiz158 negativo significa que a direção está no sentido oposto, podemos ajustar:
    (-18, raiz158) e (-18, -raiz158)
    Então:
    Ponto:
Caso 2:
Resolvendo:
Então:
Calculando :
Agora, as coordenadas:
Então, temos dois pontos simétricos:

Resposta

Os pontos (3, 0), (1, 0), (-18, raiz158), e (-18, -raiz158) na curva onde a reta tangente é vertical são:

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