Determine se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, encontre seu limite.
an=n sen nn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência an = n,sin nn^2+1, identificando se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, achar o limite. O conteúdo é limites de sequência e vamos usar o teorema do confronto (ou sanduíche).

Passo 2

Sabendo que -1 <= sin n <= 1 para todo n, temos
|an| = |n,sin nn^2+1| <= nn^2+1

Passo 3

Para grandes n vale n^2+1>n^2, logo
nn^2+1 < nn^2 = 1n

Passo 4

Como limntoinfty tfrac1n = 0, pelo teorema do confronto segue que (\lim_{n\to\infty} a_n = 0.]

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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