Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(e)
(e)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona, e também verificar se ela é limitada. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre sequências, monotonicidade e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral da sequência:
. Aqui,
é uma função exponencial que cresce muito rapidamente conforme
aumenta. O denominador
também cresce, mas como
domina, vamos analisar o comportamento da fração.
Passo 3
Para verificar se a sequência é crescente ou decrescente, vamos calcular o termo geral e o próximo termo, e ver como eles se comparam. Seja
e
. Observando que
, podemos ver que o numerador cresce mais rápido que o denominador.
Passo 4
Calculando a diferença entre
e
:
Simplificando, percebemos que cada termo seguinte é maior que o anterior, ou seja, a sequência é crescente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Observamos que:
E, como
, o termo da sequência é sempre positivo. Portanto, a sequência está limitada entre 0 e 1.
Resposta
A sequência
é crescente, e está limitada entre 0 e 1.