Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
(e) 3^n1+3^nn=1^infty

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência 3^n1+3^nn=1^infty é crescente, decrescente ou não monótona, e também verificar se ela é limitada. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre sequências, monotonicidade e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma geral da sequência: 3^n1+3^n. Aqui, 3^n é uma função exponencial que cresce muito rapidamente conforme n aumenta. O denominador 1 + 3^n também cresce, mas como 3^n domina, vamos analisar o comportamento da fração.

Passo 3

Para verificar se a sequência é crescente ou decrescente, vamos calcular o termo geral e o próximo termo, e ver como eles se comparam. Seja an = 3^n1+3^n e an+1 = 3^n+11+3^n+1. Observando que 3^n+1 = 3 cdot 3^n, podemos ver que o numerador cresce mais rápido que o denominador.

Passo 4

Calculando a diferença entre an+1 e an:
an+1 - an = 3^n+11+3^n+1 - 3^n1+3^n = 3 cdot 3^n1 + 3 cdot 3^n - 3^n1 + 3^n
Simplificando, percebemos que cada termo seguinte é maior que o anterior, ou seja, a sequência é crescente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Observamos que:
3^n1+3^n < 3^n3^n = 1
E, como 3^n > 0, o termo da sequência é sempre positivo. Portanto, a sequência está limitada entre 0 e 1.

Resposta

A sequência 3^n1+3^nn=1^infty é crescente, e está limitada entre 0 e 1.

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