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Professora: Marilene Andréia Mantovani
Observação: Apresentar os cálculos na solução das questões. Questões sem a apresentação coerente dos cálculos não serão pontuadas.
( 2,5 pontos ) 2. ^ a Questão : Calcule o volume da região R limitada abaixo da esfera x^2+y^2+z^2=2 z e acima do parabolóide x^2+y^2=z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular o volume da região que está abaixo da esfera dada por e acima do parabolóide . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de volumes em coordenadas cilíndricas, já que as figuras têm simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as equações das superfícies. A esfera x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1 pode ser reescrita completando o quadrado em :
Isso mostra que a esfera tem raio 1 e está centrada no ponto .
O parabolóide é uma superfície que se abre para cima.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção dessas duas superfícies para determinar os limites de integração. Igualando as duas equações:
x^2 + y^2 + z^2 = 2z z = x^2 + y^2
Substituindo x^2 + y^2 + (x^2 + y^2)^2 = 2(x^2 + y^2) na equação da esfera:
r^2 + r^4 = 2r^2 r^4 - r^2 = 0 r^2(r^2 - 1) = 0
Se chamarmos , a equação fica:
Então, ou . A interseção ocorre quando e .

Passo 4

Agora, configuramos as integrais em coordenadas cilíndricas. O volume V = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^1 + raiz1 - r^2 r , dz , dr , dtheta pode ser calculado como:
Aqui, varia de (parabolóide) até (esfera), varia de 0 a 1, e varia de 0 a .

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, integramos em relação a integralr^2^1 + raiz1 - r^2 dz = [ z ]r^2^1 + raiz1 - r^2 = 1 + raiz1 - r^2 - r^2 :
V = integral0^2pi integral0^1 r (1 + raiz1 - r^2 - r^2) dr , dtheta
Então, a integral fica:
integral0^1 r (1 - r^2) dr = integral0^1 r - r^3 , dr = [ r^22 - r^44 ]0^1 = 12 - 14 = 14
Agora, integramos em relação a integral0^1 r raiz1 - r^2 , dr :
-12 integral1^0 raizu , du = 12 integral0^1 raizu , du = 12 cdot 23 u^3/2 |0^1 = 13
E para a parte com 14 + 13 = 312 + 412 = 712 :
V = integral0^2pi 712 , dtheta = 712 cdot 2pi = 7pi6
Fazendo a substituição , , temos:
Então, a integral total em é:
Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

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