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Professora: Marilene Andréia Mantovani
Observação: Apresentar os cálculos na solução das questões. Questões sem a apresentação coerente dos cálculos não serão pontuadas.
( 2,5 pontos ) 2. Questão : Calcule o volume da região R limitada abaixo da esfera e acima do parabolóide .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular o volume da região que está abaixo da esfera dada por e acima do parabolóide . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de volumes em coordenadas cilíndricas, já que as figuras têm simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as equações das superfícies. A esfera pode ser reescrita completando o quadrado em :
Isso mostra que a esfera tem raio 1 e está centrada no ponto .
O parabolóide é uma superfície que se abre para cima.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção dessas duas superfícies para determinar os limites de integração. Igualando as duas equações:
Substituindo na equação da esfera:
Se chamarmos , a equação fica:
Então, ou . A interseção ocorre quando e .
Passo 4
Agora, configuramos as integrais em coordenadas cilíndricas. O volume pode ser calculado como:
Aqui, varia de (parabolóide) até (esfera), varia de 0 a 1, e varia de 0 a .