Em uma fazenda, a água flui por uma tubulação de 10 cm de diâmetro com uma velocidade de 2 m / s. Ao chegar a um bebedouro localizado 5 metros acima da tubulação principal, o diâmetro da tubulação se reduz para 5 cm . Considerando a água como um fluido ideal e a pressão na tubulação principal como 3 x 10^5 Pa, Qual a pressão da água no bebedouro? Considere a densidade da água como 1000 kg / m^3 e g = 10 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema onde a água está fluindo por uma tubulação principal com diâmetro de 10 cm e velocidade de 2 m/s. Chegando num bebedouro que está 5 metros acima, a tubulação se estreita para 5 cm de diâmetro. A pressão na tubulação principal é 3 times 10^5 Pa. Queremos descobrir qual é a pressão da água no bebedouro. Para resolver isso, vamos usar dois conceitos importantes da física dos fluidos: Equação da Continuidade e Equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Equação da Continuidade para encontrar a velocidade da água na tubulação reduzida. A equação da continuidade nos diz que, para um fluido incompressível, o produto da área da seção transversal pela velocidade do fluido permanece constante ao longo do fluxo. Matemáticamente, isso é:
A1 v1 = A2 v2
Onde:
  • A1 e A2 são as áreas das seções transversais nas tubulações 1 e 2, respectivamente.
  • v1 e v2 são as velocidades do fluido nas tubulações 1 e 2, respectivamente.
Vamos calcular as áreas das duas tubulações.

Passo 3

Calculando as áreas das tubulações:
A área de um círculo é dada por:
A = pi (d2)^2
Para a tubulação 1 (diâmetro = 10 cm = 0,10 m):
A1 = pi (0,102)^2 = pi (0,05)^2 = pi times 0,0025 approx 0,00785 , m^2
Para a tubulação 2 (diâmetro = 5 cm = 0,05 m):
A2 = pi (0,052)^2 = pi (0,025)^2 = pi times 0,000625 approx 0,0019635 , m^2
Agora, aplicando a equação da continuidade:
A1 v1 = A2 v2 0,00785 times 2 = 0,0019635 times v2 0,0157 = 0,0019635 times v2 v2 = 0,01570,0019635 approx 8 , m/s
Então, a velocidade da água na tubulação reduzida é de aproximadamente 8 m/s.

Passo 4

Agora, vamos usar a Equação de Bernoulli para encontrar a pressão no bebedouro. A equação de Bernoulli relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos de um fluido em equilíbrio. Ela é dada por:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • P1 e P2 são as pressões nos pontos 1 e 2.
  • rho é a densidade do fluido (água) = 1000 kg/m³.
  • v1 e v2 são as velocidades nos pontos 1 e 2.
  • g é a aceleração da gravidade = 10 m/s².
  • h1 e h2 são as alturas nos pontos 1 e 2.
Sabemos que:
  • P1 = 3 times 10^5 Pa
  • v1 = 2 m/s
  • v2 = 8 m/s
  • A altura do bebedouro está 5 m acima, então h2 = h1 + 5. Vamos considerar h1 = 0, então h2 = 5 m.
Substituindo na equação de Bernoulli:
3 times 10^5 + 12 times 1000 times 2^2 + 1000 times 10 times 0 = P2 + 12 times 1000 times 8^2 + 1000 times 10 times 5
Simplificando:
3 times 10^5 + 2000 + 0 = P2 + 32000 + 50000 3 times 10^5 + 2000 = P2 + 82000 P2 = 3 times 10^5 + 2000 - 82000 P2 = 3 times 10^5 - 80000 P2 = 220000 , Pa

Resposta

A pressão da água no bebedouro é de 2,2 times 10^5 Pa.

Exercícios relacionados