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Questão 2 ( 2,5 pontos)
Seja f: R^2 R uma função diferenciável tal que
f(0,1)=0, partial fpartial x(0,1)=-2 e partial fpartial y(0,1)=6
e seja Sf o gráfico de f no R^3. Considere também a superfície S no R^3 dada por
S=(x, y, z) in R^3: x^2 e^y+y^3 z=x cos z
Determine a equação paramétrica da reta tangente à curva S cap Sf no ponto (0,1,0).

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas superfícies no espaço tridimensional:
  1. Gráfico da função $ f $: Representada por $ \mathcal{S}_{f} $, onde $ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $ é diferenciável e sabemos os valores de $ f $ e suas derivadas parciais no ponto $ (0,1) $.
  2. Superfície $ \mathcal{S} $: Definida pela equação $ x^{2} e^{y} + y^{3} z = x \cos z $.
Queremos encontrar a equação paramétrica da reta tangente à curva de interseção dessas duas superfícies no ponto $ (0,1,0) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais, gradientes e a equação da reta tangente a uma curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção das superfícies $ \mathcal{S} $ e $ \mathcal{S}_{f} $. A interseção é a curva formada pelos pontos que pertencem a ambas as superfícies simultaneamente.
Como $ \mathcal{S}_{f} $ é o gráfico de $ f $, podemos expressar $ z $ em termos de $ x $ e $ y $:
S
Portanto, a curva de interseção satisfaz as duas equações:
Sf

Passo 3

Queremos encontrar a reta tangente a essa curva no ponto $ (0,1,0) $. Para isso, precisamos determinar a direção dessa reta, que será dada pelo vetor direção da curva naquele ponto.
Uma maneira de encontrar esse vetor direção é calcular a derivada da curva em relação a um parâmetro, digamos $ t $, no ponto de interesse.
Vamos parametrizar a curva de interseção, assumindo que $ x $ e $ y $ são funções de $ t $, isto é, $ x(t) $, $ y(t) $, e $ z(t) = f(x(t), y(t)) $.

Passo 4

Para encontrar as derivadas $ x’(0) $ e $ y’(0) $ no ponto $ t = 0 $, usaremos a técnica de derivação implícita nas equações que definem a curva.
Diferenciando a primeira equação $ x^{2} e^{y} + y^{3} z = x \cos z $ em relação a $ t $, temos:
x'(0)
Calculando cada termo:
  1. $ \frac{d}{dt}\left(x^{2} e^{y}\right) = 2x x’ e^{y} + x^{2} e^{y} y’ $
  2. $ \frac{d}{dt}\left(y^{3} z\right) = 3y^{2} y’ z + y^{3} z’ $
  3. $ \frac{d}{dt}\left(x \cos z\right) = x’ \cos z - x \sin z z’ $
Sabemos que no ponto $ (0,1,0) $, $ x = 0 $, $ y = 1 $, e $ z = 0 $. Além disso, $ z = f(x, y) $, então:
y'(0)
Substituindo os valores dados:
t = 0
Agora, substituímos todos esses valores na equação derivada:
x^2 e^y + y^3 z = x cos z
Simplificando:
t
Ou seja:
ddt(x^2 e^y) + ddt(y^3 z) = ddt(x cos z)
Mas também temos que:
ddt(x^2 e^y) = 2x x' e^y + x^2 e^y y'
Então:
ddt(y^3 z) = 3y^2 y' z + y^3 z'
Resolvendo para $ x’ $:
ddt(x cos z) = x' cos z - x sin z z'

Passo 5

Para determinar uma relação entre $ x’ $ e $ y’ $, precisamos de mais uma equação. Observando que estamos no ponto $ t = 0 $, podemos escolher um valor para $ y’ $ e encontrar $ x’ $.
Vamos escolher $ y’ = 1 $. Então:
x'
Agora, podemos encontrar $ z’ $:
y'
Portanto, o vetor direção da reta tangente é $ \mathbf{v} = (x’, y’, z’) = (2, 1, 2) $.

Resposta

A equação paramétrica da reta tangente à curva $ \mathcal{S} \cap \mathcal{S}_{f} $ no ponto $ (0,1,0) $ é:
S cap Sf
Onde $ t $ é o parâmetro.

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