Para o varepsilon dado, calcule um H>0 tal que |f(x)-L| para todo x>H.
f(x)=(110)^x ; L=0 ; varepsilon=0.0001;

Passo 1

O enunciado pede para usar a definição de limite no infinito: dado ε>0, encontrar H>0 tal que para todo x>H vale |f(x)−L|<ε. Aqui f(x)=(1/10)^x, L=0 e ε=0.0001, então precisamos manipular a expressão |(1/10)^x−0| para ficar abaixo de ε.

Passo 2

Calculamos o módulo da diferença: |f(x)−L|=|(1/10)x|=(1/10)x, pois (1/10)^x é sempre positivo.
Queremos portanto satisfazer a desigualdade
(1/10)^x<ε

Passo 3

Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, lembrando que ln(1/10)=−ln10<0, temos:
xln(1/10)

Passo 4

Como ln(1/10)=−ln10, podemos isolar x:
x>ln(ε)ln(1/10)=ln(10^-4)-ln(10)

Passo 5

Sabendo que ln(10^{-4})=−4\ln(10), obtemos x>4. Logo, basta escolher H=4 para garantir que (1/10)x<10{-4} sempre que x>H.

Resposta

Podemos escolher H=4.

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