Para o
dado, calcule um
tal que
para todo
.
;
Passo 1
O enunciado pede para usar a definição de limite no infinito: dado ε>0, encontrar H>0 tal que para todo x>H vale |f(x)−L|<ε. Aqui f(x)=(1/10)^x, L=0 e ε=0.0001, então precisamos manipular a expressão |(1/10)^x−0| para ficar abaixo de ε.
Passo 2
Calculamos o módulo da diferença: |f(x)−L|=|(1/10)x|=(1/10)x, pois (1/10)^x é sempre positivo.
Queremos portanto satisfazer a desigualdade
Queremos portanto satisfazer a desigualdade
Passo 3
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, lembrando que ln(1/10)=−ln10<0, temos:
Passo 4
Como ln(1/10)=−ln10, podemos isolar x:
Passo 5
Sabendo que ln(10^{-4})=−4\ln(10), obtemos x>4. Logo, basta escolher H=4 para garantir que (1/10)x<10{-4} sempre que x>H.
Resposta
Podemos escolher H=4.