Sejam (0,0),(a, 0) e (0, b) os vértices de um triângulo arbitrário colocado de tal modo que um lado é o segmento de um semi-eixo positivo do x com sua extremidade esquerda na origem. Se o quadrado do comprimento deste lado é igual à soma dos quadrados dos dois outros lados, utilize coeficientes angulares para mostrar que o triângulo é um triângulo retângulo. Assim, a recíproca do Teorema de Pitágoras também é verdadeira.

Passo 1

Temos um triângulo com vértices acomodados em coordenadas de modo que um lado fique sobre o eixo x positivo. Chamamos os vértices de A=(0,0), B=(a,0) e C=(x,y). O conteúdo é o recíproco do Teorema de Pitágoras e vamos usar coeficientes angulares para mostrar que o ângulo em C é reto.

Passo 2

Aplicamos a fórmula da distância para escrever AB², AC² e BC². Como AB é o segmento no eixo x, temos
AB^2 = (a-0)^2 = a^2
Para os outros dois lados:
AC^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2
BC^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2 = (x-a)^2 + y^2
Pela hipótese do enunciado,
a^2 = AC^2 + BC^2

Passo 3

Substituímos as expressões de AC² e BC² na igualdade e simplificamos:
a^2 = (x^2 + y^2) + l((x-a)^2 + y^2r)
a^2 = x^2 + y^2 + x^2 -2ax + a^2 + y^2
Cancelando a^2 de ambos os lados e agrupando termos,
0 = 2x^2 -2ax + 2y^2
Dividindo por 2,
x^2 - a x + y^2 = 0

Passo 4

Agora calculamos os coeficientes angulares das retas CA e CB:
Para CA (reta que liga C a A):
mCA = 0 - y0 - x = yx
Para CB (reta que liga C a B):
mCB = y - 0x - a = yx - a

Passo 5

Multiplicamos os coeficientes angulares:
mCAcdot mCB = yx cdot yx - a = y^2x(x - a)
Da relação obtida no passo 3, temos
y^2 = a x - x^2 = -l(x^2 - a xr) = -x(x - a)
Substituindo em cima:
mCAcdot mCB = -x(x - a)x(x - a) = -1

Passo 6

Como o produto dos coeficientes angulares é -1, as retas CA e CB são perpendiculares. Logo, o ângulo em C é um ângulo reto, mostrando que o triângulo é retângulo. Isso prova a recíproca do Teorema de Pitágoras.

Resposta

O produto dos coeficientes angulares das retas que formam o ângulo em C é -1, logo esse ângulo é reto e o triângulo é retângulo.

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