Sejam
e
os vértices de um triângulo arbitrário colocado de tal modo que um lado é o segmento de um semi-eixo positivo do
com sua extremidade esquerda na origem. Se o quadrado do comprimento deste lado é igual à soma dos quadrados dos dois outros lados, utilize coeficientes angulares para mostrar que o triângulo é um triângulo retângulo. Assim, a recíproca do Teorema de Pitágoras também é verdadeira.
Passo 1
Temos um triângulo com vértices acomodados em coordenadas de modo que um lado fique sobre o eixo x positivo. Chamamos os vértices de A=(0,0), B=(a,0) e C=(x,y). O conteúdo é o recíproco do Teorema de Pitágoras e vamos usar coeficientes angulares para mostrar que o ângulo em C é reto.
Passo 2
Aplicamos a fórmula da distância para escrever AB², AC² e BC². Como AB é o segmento no eixo x, temos
Para os outros dois lados:
Pela hipótese do enunciado,
Passo 3
Substituímos as expressões de AC² e BC² na igualdade e simplificamos:
Cancelando a^2 de ambos os lados e agrupando termos,
Dividindo por 2,
Passo 4
Agora calculamos os coeficientes angulares das retas CA e CB:
Para CA (reta que liga C a A):
Para CA (reta que liga C a A):
Para CB (reta que liga C a B):
Passo 5
Multiplicamos os coeficientes angulares:
Da relação obtida no passo 3, temos
Substituindo em cima:
Passo 6
Como o produto dos coeficientes angulares é -1, as retas CA e CB são perpendiculares. Logo, o ângulo em C é um ângulo reto, mostrando que o triângulo é retângulo. Isso prova a recíproca do Teorema de Pitágoras.
Resposta
O produto dos coeficientes angulares das retas que formam o ângulo em C é -1, logo esse ângulo é reto e o triângulo é retângulo.