Sejam
e
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
e encontre uma base para
.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas claras:
- Dados:
A função
é a soma das entradas da diagonal de
.
- Perguntas:
- Mostrar que
é um subespaço vetorial de . - Encontrar (dar explicitamente) uma base para
e, implicitamente, a dimensão de .
- Mostrar que
Nada mais será assumido: vamos provar a propriedade de subespaço passo a passo e construir uma base explícita.
Passo 2
Provar que
é um subespaço vetorial de
.
Primeiro, lembro o que significa ser subespaço: um subconjunto
é subespaço vetorial se
-
não é vazio (contém pelo menos o vetor zero); - é fechado para soma: se
então ; - é fechado para multiplicação por escalar: se
e então .
Agora aplico isso ao nosso
.
-
Não vazio: a matriz nula
tem , logo . Então não é vazio. -
Fechamento por soma: a operação trace é linear, isto é, para quaisquerEssa propriedade decorre do fato de que
soma exatamente as entradas diagonais; somar matrizes soma termo a termo nas diagonais. Se então e , portanto logo. -
Fechamento por escalar: para
e vale porque multiplicar a matriz pormultiplica cada entrada diagonal por . Se então , assim e .
Como as três condições são satisfeitas,
é um subespaço vetorial de
.
Passo 3
Apresentar a ferramenta básica que usaremos para construir a base: as matrizes elementares
.
Definição e propriedade:
- Para
, seja a matriz que tem na posição e em todas as outras posições. Essas são as matrizes “base-canônica” de . - Qualquer matriz
pode ser escrita como ou seja, os geram . Além disso, os são linearmente independentes, então formam uma base de . Daí .
Observação útil: para
temos
(porque não há elemento na diagonal), e para
temos
.
Passo 4
Construir explicitamente um conjunto candidato a base de
.
Intuição:
são matrizes com soma das entradas diagonais igual a zero. Podemos usar:
- todos os
com (são todos traceless e cobrem as entradas fora da diagonal); - e uma coleção de
matrizes que gerenciem a parte diagonal com soma zero.
Defino, para
,
Cada
tem traço
, então
. Proponho o conjunto
Agora vou mostrar que
gera
(ou seja, qualquer matriz traceless é combinação linear das matrizes de
).
Seja
. Escrevo
como soma da parte fora da diagonal mais a parte diagonal:
A primeira soma já é combinação das
com
. Só falta escrever a parte diagonal
como combinação dos
. Como
sabemos
Procuramos coeficientes
tais que
Compare os coeficientes das matrizes
. Isso gera o sistema (com
)
para cada :
para cada
Estas equações são resolvidas de forma simples por recorrência:
ou, em fórmula geral,
Porque
a última equação fica consistente:
é equivalente a
. Logo existem coeficientes
que escrevem a parte diagonal como combinação dos
. Portanto
é combinação linear dos elementos de
. Assim
gera
.
Como exemplo concreto pequeno (para fixar a ideia): se
fosse
e a diagonal fosse
com soma zero, então
,
, e escolhemos
,
; verifica-se que
gera a diagonal original.
Passo 5
Mostrar que
é linearmente independente e concluir que é base; calcular a dimensão.
Contagem de elementos de
:
- Existem
matrizes com (todas as posições off-diagonal). - Existem
matrizes .
Logo.
Agora a dimensão de
pode ser obtida por um argumento simples com o operador linear trace:
- A aplicação
é linear e não nula (por exemplo ), logo seu posto é (a imagem é ). - Pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity),
Portanto
.
Já mostramos que
gera
e
. Qualquer conjunto gerador com cardinalidade igual à dimensão é automaticamente uma base (pois então é linearmente independente). Assim
é base de
.
Se você quiser uma demonstração direta de independência: suponha uma combinação linear nula
Observando as entradas off-diagonais obtemos imediatamente
para todos
. Restando somente combinação das
igual a zero, olhar a primeira diagonal dá
; a segunda dá
e assim por diante, que leva a
para todo
. Logo todos coeficientes são zero e a independência é direta.
Concluímos:
é base de
e
.
Resposta
Uma base explícita de
A dimensão de
é
.