Sejam V=M_{202}(R) e W=\{A \in V, \operatorname{tr}(A)=0\}. Mostre que W é um subespaço vetorial de V e encontre uma base para W.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados: V = M_{202}(\mathbb{R}) \quad\text{(o espaço de todas as matrizes \(202\times202\) com entradas reais)}ç
W = \{A\in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}
A função \operatorname{tr}(A) é a soma das entradas da diagonal de A.
  • Perguntas:
    1. Mostrar que W é um subespaço vetorial de V.
    2. Encontrar (dar explicitamente) uma base para W e, implicitamente, a dimensão de W.
Nada mais será assumido: vamos provar a propriedade de subespaço passo a passo e construir uma base explícita.

Passo 2

Provar que W é um subespaço vetorial de V.
Primeiro, lembro o que significa ser subespaço: um subconjunto W\subset V é subespaço vetorial se
  1. W não é vazio (contém pelo menos o vetor zero);
  2. é fechado para soma: se A,B\in W então A+B\in W;
  3. é fechado para multiplicação por escalar: se A\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda A\in W.
Agora aplico isso ao nosso W.
  • Não vazio: a matriz nula \mathbf{0}\in V tem \operatorname{tr}(\mathbf{0})=0, logo \mathbf{0}\in W. Então W não é vazio.
  • Fechamento por soma: a operação trace é linear, isto é, para quaisquer A,B\in V
    \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B).
    Essa propriedade decorre do fato de que \operatorname{tr} soma exatamente as entradas diagonais; somar matrizes soma termo a termo nas diagonais. Se A,B\in W então \operatorname{tr}(A)=0 e \operatorname{tr}(B)=0, portanto
    \operatorname{tr}(A+B)=0+0=0,
    logo A+B\in W.
  • Fechamento por escalar: para \lambda\in\mathbb{R} e A\in V vale
    \operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\operatorname{tr}(A),
    porque multiplicar a matriz por \lambda multiplica cada entrada diagonal por \lambda. Se A\in W então \operatorname{tr}(A)=0, assim \operatorname{tr}(\lambda A)=\lambda\cdot 0 = 0 e \lambda A\in W.
Como as três condições são satisfeitas, W é um subespaço vetorial de V.

Passo 3

Apresentar a ferramenta básica que usaremos para construir a base: as matrizes elementares E_{ij}.
Definição e propriedade:
  • Para 1\le i,j\le 202, seja E_{ij} a matriz 202\times202 que tem 1 na posição (i,j) e 0 em todas as outras posições. Essas são as matrizes “base-canônica” de M_{202}(\mathbb{R}).
  • Qualquer matriz A=(a_{ij})\in V pode ser escrita como A=\sum_{i=1}^{202}\sum_{j=1}^{202} a_{ij} E_{ij},ou seja, os E_{ij} geram V. Além disso, os E_{ij} são linearmente independentes, então formam uma base de V. Daí \dim V = 202^2.
Observação útil: para i\ne j temos \operatorname{tr}(E_{ij})=0 (porque não há elemento na diagonal), e para i=j temos \operatorname{tr}(E_{ii})=1.

Passo 4

Construir explicitamente um conjunto candidato a base de W.
Intuição: W são matrizes com soma das entradas diagonais igual a zero. Podemos usar:
  • todos os E_{ij} com i\ne j (são todos traceless e cobrem as entradas fora da diagonal);
  • e uma coleção de 202-1=201 matrizes que gerenciem a parte diagonal com soma zero.
Defino, para k=1,\dots,201,
F_k = E_{kk} - E_{k+1,k+1}.
Cada F_k tem traço 1-1=0, então F_k\in W. Proponho o conjunto
\mathcal{B}=\{E_{ij}\mid 1\le i,j\le 202,\\ i\ne j\}\\ \cup\\ \{F_k\mid k=1,\dots,201\}.
Agora vou mostrar que \mathcal{B} gera W (ou seja, qualquer matriz traceless é combinação linear das matrizes de \mathcal{B}).
Seja A=(a_{ij})\in W. Escrevo A como soma da parte fora da diagonal mais a parte diagonal:
A = \sum_{i\ne j} a_{ij} E_{ij} \;+\; \sum_{i=1}^{202} a_{ii} E_{ii}.
A primeira soma já é combinação das E_{ij} com i\ne j. Só falta escrever a parte diagonal \sum_{i=1}^{202} a_{ii} E_{ii} como combinação dos F_k. Como A\in W sabemos
\sum_{i=1}^{202} a_{ii} = 0.
Procuramos coeficientes c_1,\dots,c_{201} tais que
\sum_{i=1}^{202} a_{ii} E_{ii} = \sum_{k=1}^{201} c_k F_k = \sum_{k=1}^{201} c_k (E_{kk}-E_{k+1,k+1}).
Compare os coeficientes das matrizes E_{ii}. Isso gera o sistema (com c_0:=0)
para cada i=1,\dots,202:
\text{coeficiente de }E_{11}:\quad c_1 = a_{11},
\text{coeficiente de }E_{22}:\quad -c_1 + c_2 = a_{22},
\text{coeficiente de }E_{33}:\quad -c_2 + c_3 = a_{33},
\vdots
\text{coeficiente de }E_{202}:\quad -c_{201} = a_{202,202}.
Estas equações são resolvidas de forma simples por recorrência:
c_1 = a_{11},\quad c_2 = a_{11}+a_{22},\quad c_3 = a_{11}+a_{22}+a_{33},\\ \dots,
ou, em fórmula geral,
c_k = \sum_{i=1}^k a_{ii}\qquad (k=1,\dots,201).
Porque \sum_{i=1}^{202} a_{ii}=0 a última equação fica consistente: -c_{201}=a_{202,202} é equivalente a c_{201}=-a_{202,202}=\sum_{i=1}^{201} a_{ii}. Logo existem coeficientes c_k que escrevem a parte diagonal como combinação dos F_k. Portanto A é combinação linear dos elementos de \mathcal{B}. Assim \mathcal{B} gera W.
Como exemplo concreto pequeno (para fixar a ideia): se 202 fosse 3 e a diagonal fosse (a_{11},a_{22},a_{33}) com soma zero, então F_1=E_{11}-E_{22}, F_2=E_{22}-E_{33}, e escolhemos c_1=a_{11}, c_2=a_{11}+a_{22}; verifica-se que c_1F_1+c_2F_2 gera a diagonal original.

Passo 5

Mostrar que \mathcal{B} é linearmente independente e concluir que é base; calcular a dimensão.
Contagem de elementos de \mathcal{B}:
  • Existem 202^2-202 matrizes E_{ij} com i\ne j (todas as posições off-diagonal).
  • Existem 201 matrizes F_k.
    Logo |\mathcal{B}| = 202^2-202 + 201 = 202^2 -1.
Agora a dimensão de W pode ser obtida por um argumento simples com o operador linear trace:
  • A aplicação \operatorname{tr}:V\to\mathbb{R} é linear e não nula (por exemplo \operatorname{tr}(E_{11})=1), logo seu posto é 1 (a imagem é \mathbb{R}).
  • Pelo teorema do posto-nulidade (rank-nullity), \dim W = \dim(\ker \operatorname{tr}) = \dim V - \operatorname{rank}(\operatorname{tr}) = 202^2 - 1.
Portanto \dim W = 202^2 -1.
Já mostramos que \mathcal{B} gera W e |\mathcal{B}| = \dim W. Qualquer conjunto gerador com cardinalidade igual à dimensão é automaticamente uma base (pois então é linearmente independente). Assim \mathcal{B} é base de W.
Se você quiser uma demonstração direta de independência: suponha uma combinação linear nula
\sum_{i\ne j} \alpha_{ij} E_{ij} + \sum_{k=1}^{201} \beta_k F_k = 0.
Observando as entradas off-diagonais obtemos imediatamente \alpha_{ij}=0 para todos i\ne j. Restando somente combinação das F_k igual a zero, olhar a primeira diagonal dá \beta_1=0; a segunda dá -\beta_1+\beta_2=0 e assim por diante, que leva a \beta_k=0 para todo k. Logo todos coeficientes são zero e a independência é direta.
Concluímos: \mathcal{B} é base de W e \dim W = 202^2-1.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.\n
Uma base explícita de W é
\mathcal{B}=\{E_{ij}\mid 1\le i,j\le 202,\\ i\ne j\}\\ \cup\\ \{\,F_k = E_{kk}-E_{k+1,k+1}\mid k=1,\dots,201\,\}.
A dimensão de W é \dim W = 202^2-1 = 40804-1 = 40803.

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