Para uma Normal (5,10) coletou-se uma amostra de tamanho 25 . Calcule:
P(4,5 \leq \bar{X} \leq 5,3).

Passo 1

O enunciado dá uma população com distribuição Normal (5,10) e uma amostra de tamanho 25. Pede-se a probabilidade
P(4,5 \leq \bar{X} \leq 5,3).
Vou interpretar \text{Normal}(5,10) como tendo média \mu=5 e variância \sigma^{2}=10. Dados relevantes listados:
\mu = 5,\quad \sigma^{2}=10,\quad n=25,\quad \text{queremos }P(4,5\le\bar{X}\le5,3).

Passo 2

Teoria importante (aula rápida): se a população é Normal com média \mu e variância \sigma^{2}, então a média amostral \bar{X} de uma amostra de tamanho n tem distribuição Normal com média \mu_{\bar{X}}=\mu e variância \sigma^{2}_{\bar{X}}=\sigma^{2}/n. Ou seja,
\bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Aqui \mu é a média da população, \sigma^{2} é a variância da população e n é o tamanho da amostra. A ideia é que a média amostral varia menos que uma observação individual — a sua variabilidade é a variância populacional dividida por n.

Passo 3

Calcular a variância e o desvio padrão da média amostral (erro padrão):
\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{10}.
O erro padrão da média é
\sigma_{\bar{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.
Agora o valor numérico:
\frac{\sqrt{10}}{5}\approx 0,632455.

Passo 4

Transformação para a variável normal padrão. Se \bar{X}\sim N\!\left(5,\frac{10}{25}\right), então definimos
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma_{\bar{X}}}=\frac{\bar{X}-5}{\sqrt{10}/5}.
Assim
P(4,5\le\bar{X}\le5,3)=P\!\left(\frac{4,5-5}{\sqrt{10}/5}\le Z\le\frac{5,3-5}{\sqrt{10}/5}\right).
Calculemos os limites em Z:
z_{1}=\frac{4,5-5}{\sqrt{10}/5}=\frac{-0,5}{\sqrt{10}/5}=-\frac{2,5}{\sqrt{10}}\approx -0,790569,
z_{2}=\frac{5,3-5}{\sqrt{10}/5}=\frac{0,3}{\sqrt{10}/5}=\frac{1,5}{\sqrt{10}}\approx 0,474342.

Passo 5

Agora usamos a função distribuição acumulada da Normal padrão, \Phi(\cdot). Temos
P(4,5\le\bar{X}\le5,3)=\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1}).
Como z_{1} é negativo, podemos usar a simetria \Phi(-a)=1-\Phi(a) e escrever
\Phi(z_{2})-\Phi(z_{1})=\Phi(0,474342)-\Phi(-0,790569)=\Phi(0,474342)+\Phi(0,790569)-1.
Usando tabela da Normal padrão (ou calculadora), tomo valores aproximados:
\Phi(0,474342)\approx 0,68236,\quad \Phi(0,790569)\approx 0,78537.

Passo 6

Calcule a probabilidade final substituindo os valores:
P(4,5\le\bar{X}\le5,3)\approx 0,68236+0,78537-1=0,46773\approx 0,4677.
Interpretação rápida: há cerca de 46{,}77\% de chance de a média amostral cair entre 4{,}5 e 5{,}3 quando a população tem média 5 e variância 10 com amostra de tamanho 25. Força aí — a técnica essencial é sempre padronizar e usar \sigma_{\bar{X}}=\sigma/\sqrt{n}.

Resposta

\,0,4677

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