Normalize a função de onda Psi(x)=Aexp(-a x^2), A e a são constantes, sobre o dominio -infty infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa normalizar a função de onda Psi(x) = A e^-a x^2 no intervalo de -infty até +infty. Normalizar significa ajustar a constante A de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1. Para isso, vamos usar conceitos de integração e funções gaussianas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar a função de onda. A condição de normalização é que a integral do módulo ao quadrado da função de onda em todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^infty |Psi(x)|^2 dx = 1

Passo 3

Calculando o módulo ao quadrado de Psi(x):
|Psi(x)|^2 = (A e^-a x^2)^2 = A^2 e^-2a x^2
Então, a condição de normalização fica:
A^2 integral-infty^infty e^-2a x^2 dx = 1

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral integral-infty^infty e^-2a x^2 dx. Essa é uma integral gaussiana e sabemos que:
integral-infty^infty e^-k x^2 dx = raizpik
No nosso caso, k = 2a, então:
integral-infty^infty e^-2a x^2 dx = raizpi2a

Passo 5

Substituindo o valor da integral de volta na condição de normalização:
A^2 raizpi2a = 1
Para encontrar A, vamos resolver essa equação:
A^2 = 1raizpi2a = raiz2api
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
A = (2api)^14

Resposta

A constante de normalização é:
A = (2api)^14

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