Normalize as seguintes funções de onda: \mathrm{e}^{-t / a} no espaço tridimensional

Passo 1

O enunciado pede para normalizar a função de onda \psi(r)=e^{-r/a}
no espaço tridimensional.
O conteúdo envolvido é normalização de funções de onda em mecânica quântica, usando coordenadas esféricas e a condição
\int_{\mathbb{R}^3}|\psi(r)|^2\,\mathrm{d}^3r = 1.

Passo 2

Escrevemos a condição de normalização e trocamos para coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi):
1 = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{\infty}|\psi(r)|^2\,r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{\infty}e^{-2r/a}\,r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi.

Passo 3

Integramos sobre os ângulos \theta e \varphi:
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi = 2\pi \times 2 = 4\pi,
ficando
1 = 4\pi \int_{0}^{\infty}e^{-2r/a}\,r^2\,\mathrm{d}r.

Passo 4

Calculamos a integral radial usando
\int_{0}^{\infty}r^2 e^{-k r}\,\mathrm{d}r = \frac{2}{k^3},
com k = 2/a. Logo,
\int_{0}^{\infty}e^{-2r/a}\,r^2\,\mathrm{d}r = \frac{2}{(2/a)^3} = \frac{2a^3}{8} = \frac{a^3}{4}.
Assim,
1 = 4\pi \,\frac{a^3}{4} = \pi\,a^3.

Passo 5

Se introduzirmos a constante de normalização N tal que \psi_{\rm norm}(r)=N\,e^{-r/a}, então
1 = N^2 \,\pi\,a^3 \quad\Longrightarrow\quad N = \frac{1}{\sqrt{\pi\,a^3}}.

Resposta

A função de onda normalizada é
\psi_{\rm norm}(r) = \frac{1}{\sqrt{\pi\,a^3}}\;e^{-r/a}.

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