The life of a dry-cell battery used in a pocket calculator is assumed to be normally distributed. A random sample of 10 batteries is tested to failure, and the following lives obtained.
25.5 h 26.1 h
Construct a
two-sided confidence interval on the mean life.
25.5 h 26.1 h
Construct a
Passo 1
O enunciado pede um intervalo de confiança bilateral de
para a vida média
de pilhas (assumida normal). Dados da amostra (n = 10):
O que precisamos entregar: intervalo de confiança de para
.
O que precisamos entregar: intervalo de confiança de
Passo 2
Calcular a média amostral
. Soma dos valores:
Logo
Explicação rápida: a média é a soma dividida pelo número de observações; aqui deu exatamente
horas.
Passo 3
Calcular a variância amostral
e o desvio padrão amostral
. Fórmula da variância amostral (não viciada):
onde
são os valores da amostra,
é a média amostral e
é o tamanho da amostra. Substituindo e calculando os quadrados das diferenças (cada termo está em horas):
Portanto
E o desvio padrão amostral é
Explicação: usamos
no denominador porque estimamos a variância da população a partir da amostra (correção de Bessel).
Passo 4
Escolher a distribuição e a fórmula do intervalo. Como a vida é assumida normal e a variância populacional é desconhecida, para amostras pequenas usamos a distribuição
de Student. A fórmula do intervalo de confiança bilateral de nível
é:
onde:
-
é a média amostral; -
é o quantil superior da distribuição com graus de liberdade (valor tal que a área à direita é ); -
é o desvio padrão amostral; -
é o tamanho da amostra.
No nosso casoentão e . O número de graus de liberdade é .
Passo 5
Obter o valor crítico
. O valor tabelado (ou calculado) para
é aproximadamente
Explicação: esse número vem da tabela da distribuição
para área
à esquerda com
graus de liberdade.
Passo 6
Calcular o erro padrão e a margem de erro. O erro padrão da média é
A margem de erro é
Detalhes numéricos mostrados:
, arredondando escrevemos
.
Passo 7
Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro da média:
Interpretação intuitiva: temos 90% de confiança de que a verdadeira vida média
das pilhas está entre
e
.