The life of a dry-cell battery used in a pocket calculator is assumed to be normally distributed. A random sample of 10 batteries is tested to failure, and the following lives obtained.
25.5 h 26.1 h
26.8 \quad 23.2
24.2 \quad 28.4
25.0 \quad 27.8
27.3 \quad 25.7
Construct a 90 \% two-sided confidence interval on the mean life.

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança bilateral de 90\% para a vida média \mu de pilhas (assumida normal). Dados da amostra (n = 10): 25,5\\ \text{h},\;26,1\\ \text{h},\;26,8\\ \text{h},\;23,2\\ \text{h},\;24,2\\ \text{h},\;28,4\\ \text{h},\;25,0\\ \text{h},\;27,8\\ \text{h},\;27,3\\ \text{h},\;25,7\\ \text{h}.
O que precisamos entregar: intervalo de confiança de 90\% para \mu.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. Soma dos valores:
\sum_{i=1}^{10} x_i = 25,5+26,1+26,8+23,2+24,2+28,4+25,0+27,8+27,3+25,7 = 260,0.
Logo
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i=\frac{260,0}{10}=26,0\\ \text{h}.
Explicação rápida: a média é a soma dividida pelo número de observações; aqui deu exatamente 26,0 horas.

Passo 3

Calcular a variância amostral s^2 e o desvio padrão amostral s. Fórmula da variância amostral (não viciada):
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
onde x_i são os valores da amostra, \bar{x} é a média amostral e n é o tamanho da amostra. Substituindo e calculando os quadrados das diferenças (cada termo está em horas):
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 23,76.
Portanto
s^2=\frac{23,76}{10-1}=\frac{23,76}{9}=2,64\\ \text{(h}^2\text{)}.
E o desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{2,64}\approx 1,6248\\ \text{h}.
Explicação: usamos n-1 no denominador porque estimamos a variância da população a partir da amostra (correção de Bessel).

Passo 4

Escolher a distribuição e a fórmula do intervalo. Como a vida é assumida normal e a variância populacional é desconhecida, para amostras pequenas usamos a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança bilateral de nível 1-\alpha é:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral;
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil superior da distribuição t com n-1 graus de liberdade (valor tal que a área à direita é \alpha/2);
  • s é o desvio padrão amostral;
  • n é o tamanho da amostra.
    No nosso caso 1-\alpha=0,90 então \alpha=0,10 e \alpha/2=0,05. O número de graus de liberdade é n-1=9.

Passo 5

Obter o valor crítico t. O valor tabelado (ou calculado) para t_{1-0,05,\,9}=t_{0,95,\,9} é aproximadamente
t_{0,95,\,9}\approx 1,833.
Explicação: esse número vem da tabela da distribuição t para área 0,95 à esquerda com 9 graus de liberdade.

Passo 6

Calcular o erro padrão e a margem de erro. O erro padrão da média é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1,6248}{\sqrt{10}}=\frac{1,6248}{3,1623}\approx 0,5139\\ \text{h}.
A margem de erro é
E = t_{0,95,9}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 1,833\cdot 0,5139 \approx 0,94\\ \text{h}.
Detalhes numéricos mostrados: 1,833\times 0,5139\approx 0,942, arredondando escrevemos E\approx 0,94\\ \text{h}.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança somando e subtraindo a margem de erro da média:
\text{Limite inferior }= \bar{x}-E = 26,0-0,94 = 25,06\\ \text{h},
\text{Limite superior }= \bar{x}+E = 26,0+0,94 = 26,94\\ \text{h}.
Interpretação intuitiva: temos 90% de confiança de que a verdadeira vida média \mu das pilhas está entre 25,06\\ \text{h} e 26,94\\ \text{h}.

Resposta

[25,06\\ \text{h},\;26,94\\ \text{h}]

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