Nota: Os seguintes exercícios abordam espaços vetoriais com suas respectivas operações usuais.
Mostre que
é uma base de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma base de , o espaço dos polinômios de grau
.
Sabemos que , logo basta provar que os quatro vetores de
são linearmente independentes.
é uma base de
Sabemos que
Passo 2
Considere uma combinação linear que resulte no polinômio zero:
Expandindo, obtemos
Como o polinômio nulo tem todos os coeficientes iguais a zero, igualamos coeficientes de cada potência de
Dessas igualdades vem .
Passo 3
Como a única solução de
é , concluímos que os elementos de
são linearmente independentes.
é
Passo 4
Em um espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto de
vetores linearmente independentes forma uma base. Portanto,
é base de
.