Nota: Os seguintes exercícios abordam espaços vetoriais com suas respectivas operações usuais.
Mostre que B=1,1-x, 1-x^2, 1-x^3 é uma base de P3(R).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
B = ,1,;1 - x,;1 - x^2,;1 - x^3
é uma base de P3(R), o espaço dos polinômios de grau <=3.
Sabemos que dim P3(R) = 4, logo basta provar que os quatro vetores de B são linearmente independentes.

Passo 2

Considere uma combinação linear que resulte no polinômio zero:
Expandindo, obtemos
Como o polinômio nulo tem todos os coeficientes iguais a zero, igualamos coeficientes de cada potência de
Dessas igualdades vem .

Passo 3

Como a única solução de
c0,1 + c1(1-x) + c2(1-x^2) + c3(1-x^3) = 0
é c0=c1=c2=c3=0, concluímos que os elementos de B são linearmente independentes.

Passo 4

Em um espaço vetorial de dimensão 4, qualquer conjunto de 4 vetores linearmente independentes forma uma base. Portanto, B é base de P3(R).

Resposta

B=1,,1-x,,1-x^2,,1-x^3 é uma base de P3(R).

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