Verifique se as aplicações abaixo são transformações lineares:
T: R^3 R^2, T(x, y, z)=(x-2 z, 3 y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (,x - 2z,;3y,)
é linear. Para isso, vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades:
  1. aditividade: T(u+v)=T(u)+T(v),
  2. homogeneidade: T(alpha u)=alpha,T(u).

Passo 2

Sejam u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) vetores em R^3. Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2),
e
T(u+v) =l((x1+x2)-2(z1+z2),;3(y1+y2)r) =(x1-2z1,;3y1)+(x2-2z2,;3y2) =T(u)+T(v)

Passo 3

Seja alphainR e u=(x1,y1,z1). Então
alpha,u=(alpha x1,;alpha y1,;alpha z1) e T(alpha,u) =l(alpha x1-2(alpha z1),;3(alpha y1)r) =(alpha(x1-2z1),;alphacdot3y1) =alpha,(x1-2z1,;3y1) =alpha,T(u)

Resposta

Sim. A aplicação T é linear, pois satisfaz aditividade e homogeneidade. Além disso, pode ser representada pela matriz
1 & 0 & -2 0 & 3 & 0

Exercícios relacionados