Resolva a equação diferencial dada sujeita a condição inicial indicada, utilizando equações separáveis:
y d y=4 x(y^2+1)^12 d x ; y(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y,dy = 4xraizy^2+1,dx
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo é Equações Diferenciais Separáveis: vamos separar as variáveis x e y e integrar.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por raizy^2+1 e agrupando y e dy de um lado, x e dx de outro, obtemos
yraizy^2+1,dy = 4x,dx
Agora integramos cada lado:
integral yraizy^2+1,dy = integral 4x,dx
Na integral à esquerda, fazemos u=y^2+1, du=2y,dy, logo
integral yraizy^2+1,dy = 12integral u^-12du = u^12 = raizy^2+1
À direita,
integral 4x,dx = 2x^2 + C
Portanto a relação implícita é
raizy^2+1 = 2x^2 + C

Passo 3

Usamos a condição inicial y(0)=1:
raiz1^2+1 = raiz2 = 2cdot0^2 + C,
logo C=raiz2. Assim
raizy^2+1 = 2x^2 + raiz2

Passo 4

Elevando ao quadrado e isolando y:
y^2+1 = l(2x^2+raiz2r)^2 Longrightarrow y^2 = l(2x^2+raiz2r)^2 - 1
Tomando o sinal compatível com y(0)=1>0, temos
y(x) = raizl(2x^2+raiz2r)^2 - 1 = raiz4x^4 + 4raiz2,x^2 + 1

Resposta

y(x) = raiz4x^4 + 4raiz2,x^2 + 1

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