Na notação de Leibniz, a Regra da Cadeia deveria ser lida:
d f(g(x))d x=d f(y)d y|y=g(x) cdot d g(x)d x
Em vez disso, geralmente se encontra a seguinte afirmação:
“Seja y=g(x) e z=f(y). Então, d zd x=d zd y cdot d yd x.”
Note que o z em d z / d x denota a função composta f circ g, enquanto o z em d z / d y denota a função f; também se entende que d z / d y será "uma expressão envolvendo y ", e que na resposta final g(x) deve ser substituído por y. Em cada um dos seguintes casos, encontre d z / d x usando esta fórmula; então compare com a questão 23 .
z=sin v, v=cos u, u=sin x.

Passo 1

O enunciado dá a composição de três funções:
u = sin x, v = cos u, z = sin v
e pede dfracdzdx usando a notação de Leibniz para a Regra da Cadeia. O conteúdo aqui é identificar cada “diferencial” e aplicar
dzdx = dzdv,dvdu,dudx

Passo 2

Identificamos:
z = sin vLongrightarrow dzdv = cos v,
v = cos uLongrightarrow dvdu = -sin u,
u = sin xLongrightarrow dudx = cos x

Passo 3

Substituímos essas derivadas na Regra da Cadeia:
dzdx = dzdv,dvdu,dudx = l(cos vr),l(-sin ur),l(cos xr)

Passo 4

Agora devolvemos cada variável ao argumento original x:
v = cos u = cosl(sin xr), u = sin x
Logo
dzdx = -cosl(cos(sin x)r),sinl(sin xr),cos x

Passo 5

Comparando com a questão 23, vemos que o resultado coincide exatamente com a derivada de sin(cos(sin x)) obtida ali.

Resposta

dzdx = -cosl(cos(sin x)r),sinl(sin xr),cos x

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