Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário x0=1.
(a) (x^2-x+10) y^prime prime+x y^prime-4 y=0
(b) y^prime prime+(sen x) y=0
(c) (x^2-2 x-3) y^prime prime+x y^prime+4 y=0
(d) x y^prime prime+y^prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá quatro equações diferenciais lineares de segunda ordem e pede o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em x0=1. O conteúdo principal aqui é a classificação de pontos ordinários e singulares de uma EDO da forma
a2(x)y''+a1(x)y'+a0(x)y=0
e a aplicação do resultado de que o raio de convergência da série em torno de x0 é a distância até o singular mais próximo, ou seja, até a raiz de a2(x) (ou qualquer outro ponto onde a1/a2 ou a0/a2 deixem de ser analíticos).

Passo 2

Seja
a2(x)y''+a1(x)y'+a0(x)y=0
com a2(x0)neq0. Então x0 é ponto ordinário e as soluções em série convergem pelo menos até o ponto singular mais próximo, que ocorre onde a2(x)=0 (ou onde a1 ou a0 não sejam analíticos). Logo,
R=minx:,a2(x)=0l|x-x0r|

Passo 3

(a) Aqui a2(x)=x^2-x+10. As raízes são
x=1pmraiz1-402=1pm iraiz392
e a distância de x0=1 a cada raiz é
l|1-tfrac1pm iraiz392r| =raiz392
Portanto
Ra=raiz392

Passo 4

(b) Aqui a2(x)=1, não há zeros nem singularidades de a1/a2 ou a0/a2 porque sin x é inteira. Logo não há ponto singular finito e
Rb=infty

Passo 5

(c) Aqui a2(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1). As raízes são x=3 e x=-1. Suas distâncias a x0=1 são
|1-3|=2, |1-(-1)|=2
Então
Rc=2

Passo 6

(d) Aqui a2(x)=x, que se anula em x=0. A única distância a x0=1 é
|1-0|=1,
logo
Rd=1

Resposta

(a) R=raiz392
(b) R=infty
(c) R=2
(d) R=1

Exercícios relacionados