Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências com centro no ponto ordinário .
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá quatro equações diferenciais lineares de segunda ordem e pede o raio mínimo de convergência das soluções em série de potências centradas em . O conteúdo principal aqui é a classificação de pontos ordinários e singulares de uma EDO da forma
e a aplicação do resultado de que o raio de convergência da série em torno de é a distância até o singular mais próximo, ou seja, até a raiz de (ou qualquer outro ponto onde ou deixem de ser analíticos).
Passo 2
Seja
com . Então é ponto ordinário e as soluções em série convergem pelo menos até o ponto singular mais próximo, que ocorre onde (ou onde ou não sejam analíticos). Logo,
Passo 3
(a) Aqui a2(x)=x^2-x+10. As raízes são
x=1pmraiz1-402=1pm iraiz392
e a distância de x0=1 a cada raiz é
l|1-tfrac1pm iraiz392r| =raiz392
Portanto
Ra=raiz392
Passo 4
(b) Aqui a2(x)=1, não há zeros nem singularidades de a1/a2 ou a0/a2 porque sin x é inteira. Logo não há ponto singular finito e
Rb=infty
Passo 5
(c) Aqui a2(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1). As raízes são x=3 e x=-1. Suas distâncias a x0=1 são
|1-3|=2, |1-(-1)|=2
Então
Rc=2
Passo 6
(d) Aqui a2(x)=x, que se anula em x=0. A única distância a x0=1 é