Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial:
2 x y d x+(x^2+2 y) d y=0 ; x^2 y+y^2=c1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a família de curvas
x^2y + y^2 = c1
satisfaz a equação diferencial
2xy,dx + l(x^2 + 2yr),dy = 0
Para isso, vamos ver se existe uma função F(x,y) tal que dF seja exatamente o lado esquerdo da equação diferencial.

Passo 2

Definimos
F(x,y) = x^2y + y^2
Vamos calcular sua diferencial total:
dF = d(x^2y) + d(y^2)
Usando a regra do produto em d(x^2y) e a regra da potência em d(y^2), obtemos
d(x^2y) = 2x,y,dx + x^2,dy,
d(y^2) = 2y,dy
Somando,
dF = 2x,y,dx + x^2,dy + 2y,dy = 2x,y,dx + l(x^2 + 2yr),dy

Passo 3

Comparando com a equação diferencial dada, vemos que
dF = 2x,y,dx + l(x^2 + 2yr),dy,
que coincide exatamente com
2xy,dx + l(x^2 + 2yr),dy
Impondo dF=0 obtemos a forma 2xy,dx + (x^2+2y),dy=0, ou seja, a equação original.

Resposta

Sim. A relação implícita ,x^2y + y^2 = c1, é a solução geral da equação diferencial dada.

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