notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 3) Mostre como a equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser separada em uma parte espacial e uma parte temporal, usando o método de separação de variáveis.
Sugestão: a equação de Schrödinger é ih
Passo 1
O enunciado pede para mostrar como a equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser separada em uma parte espacial e uma parte temporal usando separação de variáveis. A equação dada é
Informações relevantes que o enunciado dá e que eu preciso assumir explicitamente:
é a função de onda que depende de
e
. Vou assumir que o potencial
depende somente de
, ou seja
e não depende de
(essa hipótese é necessária para aplicar a separação de variáveis da forma padrão). Não vou resolver nenhum caso particular de
ainda — só mostrar a separação geral.
Passo 2
Proponho o ansatz de separação de variáveis: suponha que a solução possa ser escrita como um produto de uma função apenas de
e outra apenas de
:
onde
é a parte espacial e
é a parte temporal. Essa suposição é comum: tentamos soluções do tipo produto porque o PDE mistura derivadas que separam facilmente quando a função é produto.
Passo 3
Calculo as derivadas necessárias usando
. Como
depende só de
e
só de
,
Substituo essas expressões na equação de Schrödinger:
Passo 4
Divido ambos os lados por
(assumindo
) para separar as variáveis:
Observe que o lado esquerdo depende apenas de
e o lado direito depende apenas de
. A única forma de uma função de
ser igual para todo
a uma função de
é ambas serem iguais a uma constante. Introduzimos, então, uma constante de separação que chamamos de
(essa escolha tem interpretação física óbvia: energia):
Passo 5
Escrevo explicitamente as equações ordinais obtidas:
Para a parte temporal:
Para a parte temporal:
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Resolvo-a separando variáveis:
Integrando ambos os lados:
onde
é uma constante de integração. Exponenciando:
com
. Podemos absorver
na normalização da função espacial
(ou escolher
e ajustar constantes depois), então a dependência temporal funda é
Explique rapidinho: essa exponencial complexa representa apenas uma fase temporal que gira com frequência angular
.
Passo 6
A parte espacial fica com a equação conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo (TISE):
Interpretação e comentários didáticos:
- Isso é um problema de autovalores: para certos valores de
(os autovalores) existem funções (autofunções) satisfazendo a equação e as condições de contorno do problema (por exemplo decaimento no infinito ou condição de contorno em uma caixa). - O operador à esquerda
é o Hamiltoniano; este é Hermitiano em domínios físicos bem comportados, então os reais aparecem naturalmente e os podem ser tomados ortonormais. - Dependendo de
você obtém espectro discreto (como poço infinito) ou contínuo (como partícula livre) ou mistura dos dois.
Passo 7
Reuno os resultados: uma solução separada básica tem a forma
onde
satisfaz
e
é a constante de separação (energia). Como as equações são lineares, a solução geral (quando o espectro é discreto, índice
) é a superposição linear das soluções próprias:
onde os coeficientes
são fixados pela condição inicial
através do produto interno (projeção):
Fisicamente,
é a probabilidade de medir a energia
se o sistema estiver na função de onda
.
Passo 8
Observações finais rápidas e motivadoras: se o potencial
dependesse de
a separação simples acima não funciona diretamente e precisaríamos de outras técnicas (expansão em bases dependentes do tempo, método perturbativo, ou resolução numérica). Mas para muitos problemas de base na prova — potencial independente do tempo — a separação de variáveis e as equações que obtivemos são exatamente o que se pede. Você consegue! Um passo de cada vez: primeiro resolve a TISE para obter
e
, depois monta a combinação linear e aplica as condições iniciais.