notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 3) Mostre como a equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser separada em uma parte espacial e uma parte temporal, usando o método de separação de variáveis.
Sugestão: a equação de Schrödinger é ih \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x^{2}}+V \Psi

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como a equação de Schrödinger dependente do tempo pode ser separada em uma parte espacial e uma parte temporal usando separação de variáveis. A equação dada é
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}} + V\Psi.
Informações relevantes que o enunciado dá e que eu preciso assumir explicitamente:
\Psi=\Psi(x,t)
é a função de onda que depende de x e t. Vou assumir que o potencial V depende somente de x, ou seja V=V(x) e não depende de t (essa hipótese é necessária para aplicar a separação de variáveis da forma padrão). Não vou resolver nenhum caso particular de V(x) ainda — só mostrar a separação geral.

Passo 2

Proponho o ansatz de separação de variáveis: suponha que a solução possa ser escrita como um produto de uma função apenas de x e outra apenas de t:
\Psi(x,t)=\varphi(x)\,T(t),
onde \varphi(x) é a parte espacial e T(t) é a parte temporal. Essa suposição é comum: tentamos soluções do tipo produto porque o PDE mistura derivadas que separam facilmente quando a função é produto.

Passo 3

Calculo as derivadas necessárias usando \Psi(x,t)=\varphi(x)T(t). Como \varphi depende só de x e T só de t,
\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\varphi(x)\,\frac{dT}{dt}, \qquad \frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}=T(t)\,\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}.
Substituo essas expressões na equação de Schrödinger:
i\hbar\,\varphi(x)\,\frac{dT}{dt} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,T(t)\,\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}} + V(x)\,\varphi(x)\,T(t).

Passo 4

Divido ambos os lados por \varphi(x)T(t) (assumindo \varphi T\neq0) para separar as variáveis:
i\hbar\,\frac{1}{T(t)}\frac{dT}{dt} = -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{1}{\varphi(x)}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}} + V(x).
Observe que o lado esquerdo depende apenas de t e o lado direito depende apenas de x. A única forma de uma função de t ser igual para todo x a uma função de x é ambas serem iguais a uma constante. Introduzimos, então, uma constante de separação que chamamos de E (essa escolha tem interpretação física óbvia: energia):
i\hbar\,\frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = E \qquad\text{e}\qquad -\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{1}{\varphi}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}} + V(x) = E.

Passo 5

Escrevo explicitamente as equações ordinais obtidas:
Para a parte temporal:
i\hbar\frac{dT}{dt}=E\,T.
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Resolvo-a separando variáveis:
\frac{dT}{T} = -\frac{iE}{\hbar}\,dt.
Integrando ambos os lados:
\ln T = -\frac{iE}{\hbar}t + C,
onde C é uma constante de integração. Exponenciando:
T(t)=C'\,e^{-iEt/\hbar},
com C'=e^{C}. Podemos absorver C' na normalização da função espacial \varphi (ou escolher C'=1 e ajustar constantes depois), então a dependência temporal funda é
T(t)\propto e^{-iEt/\hbar}.
Explique rapidinho: essa exponencial complexa representa apenas uma fase temporal que gira com frequência angular E/\hbar.

Passo 6

A parte espacial fica com a equação conhecida como equação de Schrödinger independente do tempo (TISE):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}} + V(x)\,\varphi(x) = E\,\varphi(x).
Interpretação e comentários didáticos:
  • Isso é um problema de autovalores: para certos valores de E (os autovalores) existem funções \varphi(x) (autofunções) satisfazendo a equação e as condições de contorno do problema (por exemplo decaimento no infinito ou condição de contorno em uma caixa).
  • O operador à esquerda \hat H = -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}}{dx^{2}} + V(x) é o Hamiltoniano; este é Hermitiano em domínios físicos bem comportados, então os E reais aparecem naturalmente e os \varphi podem ser tomados ortonormais.
  • Dependendo de V(x) você obtém espectro discreto (como poço infinito) ou contínuo (como partícula livre) ou mistura dos dois.

Passo 7

Reuno os resultados: uma solução separada básica tem a forma
\Psi(x,t)=\varphi(x)\,e^{-iEt/\hbar},
onde \varphi(x) satisfaz
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}} + V(x)\varphi(x) = E\varphi(x),
e E é a constante de separação (energia). Como as equações são lineares, a solução geral (quando o espectro é discreto, índice n) é a superposição linear das soluções próprias:
\Psi(x,t)=\sum_{n} c_{n}\,\phi_{n}(x)\,e^{-iE_{n}t/\hbar},
onde os coeficientes c_{n} são fixados pela condição inicial \Psi(x,0) através do produto interno (projeção):
c_{n}=\int \phi_{n}^{*}(x)\,\Psi(x,0)\,dx.
Fisicamente, |c_{n}|^{2} é a probabilidade de medir a energia E_{n} se o sistema estiver na função de onda \Psi(x,0).

Passo 8

Observações finais rápidas e motivadoras: se o potencial V dependesse de t a separação simples acima não funciona diretamente e precisaríamos de outras técnicas (expansão em bases dependentes do tempo, método perturbativo, ou resolução numérica). Mas para muitos problemas de base na prova — potencial independente do tempo — a separação de variáveis e as equações que obtivemos são exatamente o que se pede. Você consegue! Um passo de cada vez: primeiro resolve a TISE para obter \phi_n e E_n, depois monta a combinação linear e aplica as condições iniciais.

Resposta

\Psi(x,t)=\varphi(x)\,e^{-iEt/\hbar} com -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}+V(x)\varphi(x)=E\varphi(x).
\displaystyle\Psi(x,t)=\sum_{n} c_{n}\,\phi_{n}(x)\,e^{-iE_{n}t/\hbar},\quad c_{n}=\int \phi_{n}^{*}(x)\,\Psi(x,0)\,dx.

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