notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 1) Mostre que quando se usa soluções separáveis, o valor esperado \langle Q(x, p)\rangle não depende do tempo.
Sugestões:
  • \varphi(t)=e^{-i E t / \hbar}
  • O operador momento é dado por \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o valor esperado \langle Q(x,p)\rangle não depende do tempo quando se usa soluções separáveis. Informações dadas e condições importantes:
  • A solução separável tem a forma \Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t).
  • Foi sugerido \varphi(t)=e^{-i E t / \hbar}.
  • O operador momento é \displaystyle \hat p=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}.
  • O operador Q é uma função dos operadores posição e momento, isto é Q=Q(x,\hat p), e não tem dependência explícita do tempo no enunciado.
    Não se resolve nada ainda; apenas organizamos o que foi pedido e as informações que temos.

Passo 2

Escrevo a definição do valor esperado de Q em função do tempo. Por definição,
\langle Q\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\Psi^*(x,t)\;Q(x,\hat p)\;\Psi(x,t)\;dx.
Aqui \Psi^*(x,t) é o complex-conjugado da função de onda, a integração é sobre toda a variável espacial x (assumindo sistema unidimensional), e supomos que \Psi está normalizada ou que essa integral seja bem definida. Vou explicar cada item: \langle Q\rangle(t) é o número que representa a média de medidas de Q se repetíssemos o experimento muitas vezes com a mesma \Psi. O operador Q(x,\hat p) age sobre as dependências em x da função de onda, via multiplicação por x e/ou derivação em x (porque \hat p contém \partial/\partial x).

Passo 3

Substituo a forma separável \Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t) na expressão do valor esperado. Primeiro escrevo o conjugado:
\Psi^*(x,t)=\psi^*(x)\varphi^*(t).
Então o integrando fica
\Psi^*(x,t)\;Q(x,\hat p)\;\Psi(x,t)=\psi^*(x)\varphi^*(t)\;Q(x,\hat p)\;[\psi(x)\varphi(t)].
Neste ponto é crucial observar que \varphi(t) depende apenas de t e não de x. Vou analisar como o operador Q(x,\hat p) age sobre o produto \psi(x)\varphi(t).

Passo 4

Mostro que o fator temporal \varphi(t) pode ser tirado para fora do operador Q. O operador momento age como derivada em x, então, por exemplo,
\hat p\,[\psi(x)\varphi(t)] =\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}\big(\psi(x)\varphi(t)\big) =\frac{\hbar}{i}\varphi(t)\frac{d\psi(x)}{dx} =\varphi(t)\,\hat p\,\psi(x).
Aqui usei que \varphi(t) é constante em relação à derivada \partial/\partial x, então pode ser tratada como um fator multiplicativo que sai da derivada. A mesma propriedade vale para potências e combinações (polinômios) em \hat p: \hat p^2[\psi\varphi]=\varphi\,\hat p^2\psi, etc. E para a multiplicação por x claramente x[\psi(x)\varphi(t)]=\varphi(t)\,x\psi(x). Assim, para qualquer operador construído a partir de x e \hat p (sem dependência explícita em t),
Q(x,\hat p)\,[\psi(x)\varphi(t)]=\varphi(t)\;Q(x,\hat p)\,\psi(x).

Passo 5

Volto ao integrando e uso o resultado do passo anterior para fatorar \varphi(t):
\psi^*(x)\varphi^*(t)\;Q(x,\hat p)\;[\psi(x)\varphi(t)] =\psi^*(x)\varphi^*(t)\;\varphi(t)\;Q(x,\hat p)\psi(x) =|\varphi(t)|^2\;\psi^*(x)\,Q(x,\hat p)\,\psi(x).
Portanto o valor esperado fica
\langle Q\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty} |\varphi(t)|^2\;\psi^*(x)\,Q(x,\hat p)\,\psi(x)\;dx.

Passo 6

Uso a forma sugerida \varphi(t)=e^{-iEt/\hbar} para avaliar |\varphi(t)|^2. Como
\varphi^*(t)\varphi(t)=e^{iEt/\hbar}e^{-iEt/\hbar}=1,
temos |\varphi(t)|^2=1 para todo t. Assim a expressão do passo anterior simplifica para
\langle Q\rangle(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\,Q(x,\hat p)\,\psi(x)\;dx,
que não depende de t. Em palavras: o fator de fase temporal cancela entre \Psi e \Psi^*, deixando apenas a integral sobre a parte espacial \psi(x).

Passo 7

Conclusão e observações práticas para a prova:
  • Concluímos que, para um estado separável do tipo \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-iEt/\hbar} (um autovetor de energia, estado estacionário) e para um operador Q sem dependência explícita no tempo, o valor esperado \langle Q\rangle é constante no tempo.
  • Importante: a propriedade usada foi que Q age apenas sobre x (via multiplicação por x e derivação em x); se Q tivesse dependência explícita em t ou se \Psi fosse superposição de autovetores de energia com energias diferentes, então \langle Q\rangle pode ter dependência temporal (devido a termos cruzados com fases relativas).
  • Exemplo rápido (para fixar): se \Psi=c_1\psi_1 e^{-iE_1 t/\hbar}+c_2\psi_2 e^{-iE_2 t/\hbar}, ao calcular \langle Q\rangle aparecem termos do tipo c_1^* c_2 e^{i(E_1-E_2)t/\hbar}\int \psi_1^* Q \psi_2 dx, que oscilam no tempo se E_1\neq E_2.

Resposta

\langle Q(x,\hat p)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\,Q(x,\hat p)\,\psi(x)\;dx, portanto \langle Q(x,\hat p)\rangle é independente do tempo.

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