notas de aula 22do09 EXERCÍCIO 1) Mostre que quando se usa soluções separáveis, o valor esperado
não depende do tempo.
Sugestões:
-
- O operador momento é dado por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o valor esperado
não depende do tempo quando se usa soluções separáveis. Informações dadas e condições importantes:
- A solução separável tem a forma
. - Foi sugerido
. - O operador momento é
. - O operador
é uma função dos operadores posição e momento, isto é , e não tem dependência explícita do tempo no enunciado.
Não se resolve nada ainda; apenas organizamos o que foi pedido e as informações que temos.
Passo 2
Escrevo a definição do valor esperado de
em função do tempo. Por definição,
Aqui
é o complex-conjugado da função de onda, a integração é sobre toda a variável espacial
(assumindo sistema unidimensional), e supomos que
está normalizada ou que essa integral seja bem definida. Vou explicar cada item:
é o número que representa a média de medidas de
se repetíssemos o experimento muitas vezes com a mesma
. O operador
age sobre as dependências em
da função de onda, via multiplicação por
e/ou derivação em
(porque
contém
).
Passo 3
Substituo a forma separável
na expressão do valor esperado. Primeiro escrevo o conjugado:
Então o integrando fica
Neste ponto é crucial observar que
depende apenas de
e não de
. Vou analisar como o operador
age sobre o produto
.
Passo 4
Mostro que o fator temporal
pode ser tirado para fora do operador
. O operador momento age como derivada em
, então, por exemplo,
Aqui usei que
é constante em relação à derivada
, então pode ser tratada como um fator multiplicativo que sai da derivada. A mesma propriedade vale para potências e combinações (polinômios) em
:
, etc. E para a multiplicação por
claramente
. Assim, para qualquer operador construído a partir de
e
(sem dependência explícita em
),
Passo 5
Volto ao integrando e uso o resultado do passo anterior para fatorar
:
Portanto o valor esperado fica
Passo 6
Uso a forma sugerida
para avaliar
. Como
temos
para todo
. Assim a expressão do passo anterior simplifica para
que não depende de
. Em palavras: o fator de fase temporal cancela entre
e
, deixando apenas a integral sobre a parte espacial
.
Passo 7
Conclusão e observações práticas para a prova:
- Concluímos que, para um estado separável do tipo
(um autovetor de energia, estado estacionário) e para um operador sem dependência explícita no tempo, o valor esperado é constante no tempo. - Importante: a propriedade usada foi que
age apenas sobre (via multiplicação por e derivação em ); se tivesse dependência explícita em ou se fosse superposição de autovetores de energia com energias diferentes, então pode ter dependência temporal (devido a termos cruzados com fases relativas). - Exemplo rápido (para fixar): se
, ao calcular aparecem termos do tipo , que oscilam no tempo se .