As notas bimestrais de um aluno são, em média, quatro e têm variância 2,56, mas a distribuição não é conhecida. Determine um limite para a probabilidade de, em dado bimestre, sua nota:
a) estar entre 1,5 e 6,5: 0,5904 ou 59,04%
b) estar entre 2 e 6: 0,36 ou 36%

Passo 1

O enunciado diz que as notas bimestrais de um aluno têm média mu=4 e variância sigma^2=2,56, mas distribuição desconhecida, e pede um limite inferior para a probabilidade de a nota ficar em certos intervalos. Vamos usar o teorema de Chebyshev, que fornece limites para qualquer distribuição com média e variância conhecidas.

Passo 2

O teorema de Chebyshev afirma que, para qualquer variável aleatória X com média mu e variância sigma^2, vale
Pl(|X-mu|>= varepsilonr)<= sigma^2varepsilon^2
Logo, a probabilidade de X ficar no intervalo [mu-varepsilon,mu+varepsilon] satisfaz
Pl(|X-mu|< varepsilonr) =1 - Pl(|X-mu|>= varepsilonr) >= 1 - sigma^2varepsilon^2

Passo 3

Para o item (a) queremos P(1,5<= X<= 6,5). Note que esse intervalo é simétrico em torno de mu=4 com semi-amplitude
varepsilon = 6,5 - 4 = 2,5
Aplicando Chebyshev:
P(1,5<= X<= 6,5) = Pl(|X-4|<2,5r) >= 1 - 2,56(2,5)^2 = 1 - 2,566,25 = 1 - 0,4096 = 0,5904

Passo 4

Para o item (b) queremos P(2<= X<= 6). Aqui a semi-amplitude em torno de mu=4 é
varepsilon = 6 - 4 = 2
Pelo teorema de Chebyshev:
P(2<= X<= 6) = Pl(|X-4|<2r) >= 1 - 2,562^2 = 1 - 2,564 = 1 - 0,64 = 0,36

Resposta

a) 0,5904 ou 59,04%
b) 0,36 ou 36%

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