As notas bimestrais de um aluno são, em média, quatro e têm variância 2,56, mas a distribuição não é conhecida. Determine um limite para a probabilidade de, em dado bimestre, sua nota:
a) estar entre 1,5 e 6,5: 0,5904 ou 59,04%
b) estar entre 2 e 6: 0,36 ou 36%
a) estar entre 1,5 e 6,5: 0,5904 ou 59,04%
b) estar entre 2 e 6: 0,36 ou 36%
Passo 1
O enunciado diz que as notas bimestrais de um aluno têm média
e variância
, mas distribuição desconhecida, e pede um limite inferior para a probabilidade de a nota ficar em certos intervalos. Vamos usar o teorema de Chebyshev, que fornece limites para qualquer distribuição com média e variância conhecidas.
Passo 2
O teorema de Chebyshev afirma que, para qualquer variável aleatória
com média
e variância
, vale
Logo, a probabilidade de
ficar no intervalo
satisfaz
Passo 3
Para o item (a) queremos
. Note que esse intervalo é simétrico em torno de
com semi-amplitude
Aplicando Chebyshev:
Passo 4
Para o item (b) queremos
. Aqui a semi-amplitude em torno de
é
Pelo teorema de Chebyshev:
Resposta
a)
ou
b) ou
b)