As notas de Estatística dos alunos de uma Universidade distribuem-se normalmente com média de 6,4 e desvio-padrão de 0,8. Em uma classe de 80 alunos, quantos terão nota: (a) menor do que 5,0, (b) entre 5,0 e 7,5 , © maior que 7,5 .
Passo 1
Beleza! O enunciado diz que as notas seguem uma distribuição normal com média μ = 6,4 e desvio‐padrão σ = 0,8. A gente tem uma turma de 80 alunos e quer saber quantos vão tirar:
(a) nota < 5,0
(b) nota entre 5,0 e 7,5
© nota > 7,5
(a) nota < 5,0
(b) nota entre 5,0 e 7,5
© nota > 7,5
Conteúdo: distribuição normal e padronização (transformar X em Z). Vamos usar a tabela da Normal Padrão (Φ) e depois multiplicar pela turma de 80.
Passo 2
Teoria muuito básica:
- Uma variável X ∼ N(μ, σ²) tem curva em forma de “sininho”.
- Pra achar probabilidades a gente “padroniza” X em Z pela fórmula
- Depois consultamos a tabela da Normal Padrão (Φ) para P(Z < z).
- Pra achar quantos alunos, multiplica P(X em certa faixa) por 80.
Passo 3
(a) Nota < 5,0
- Calcular o Z correspondente a X = 5,0:
- Pela tabela, Φ(−1,75) ≈ 0,0401. Isso quer dizer que 4,01% caem abaixo de 5,0.
- Então aprox. 0,0401 × 80 = 3,208 ≈ 3 alunos.
Passo 4
(b) Nota entre 5,0 e 7,5
- A parte de baixo já é o Z_a = −1,75 (Φ = 0,0401).
- Calcular o Z para X = 7,5:
- Pela tabela, Φ(1,375) ≈ 0,9159.
- A probabilidade de 5,0 < X < 7,5 é Φ(1,375) − Φ(−1,75) = 0,9159 − 0,0401 = 0,8758 (87,58%).
- Em número de alunos: 0,8758 × 80 = 70,064 ≈ 70 alunos.
Passo 5
© Nota > 7,5
- Já temos Z_b = 1,375 e Φ(1,375) = 0,9159.
- P(X > 7,5) = 1 − Φ(1,375) = 1 − 0,9159 = 0,0841 (8,41%).
- Alunos: 0,0841 × 80 = 6,728 ≈ 7 alunos.
Resposta
(a) ≈ 3 alunos
(b) ≈ 70 alunos
© ≈ 7 alunos
(b) ≈ 70 alunos
© ≈ 7 alunos